Question

решите уравнение по алгебре

Answer 1

$\cfrac{x-4}{x+1}+\cfrac{2}{k}=\cfrac{1}{k(x+1)};~\cfrac{k(x-4)}{k(x+1)}+\cfrac{2(x+1)}{k(x+1)}=\cfrac{1}{k(x+1)};~\\\cfrac{k(x-4)+2(x+1)}{k(x+1)}=\cfrac{1}{k(x+1)};~\cfrac{kx-4k+2x+2-1}{k(x+1)}=0~\to~\\\displaystyle\left\{{{kx-4k+2x+1=0}\atop{k(x+1)\neq0}}\right\to~\left\{{{x=\cfrac{4k-1}{k+2}}\atop{\left\{{{k\neq0}\atop{x\neq-1}}\right}}\right$

отдельно решаем последнюю систему, используя подсказки, данные в задании: 

во-первых, $\cfrac{4k-1}{k+2}\neq-1$, следовательно, $\cfrac{5k+1}{k+2}\neq0$, а уже отсюда следует, что $\displaystyle\left\{{{k\neq-\frac{1}{5}}\atop{k\neq-2}}\right$

во-вторых, попытаемся оценить, между какими числами находится дробь $\cfrac{4k-1}{k+2}$, зная, что она является корнем уравнения, который мечется в пределах от минус двух до трёх, не включая; иначе говоря, записываем: 

$-2\ \textless \ \cfrac{4k-1}{k+2}\ \textless \ 3;~-2(k+2)\ \textless \ 4k-1\ \textless \ 3(k+2);~\\-2k-4\ \textless \ 4k-1\ \textless \ 3k+6;~0\ \textless \ 6k+3\ \textless \ 5k+10$

последнее решим по отдельности, записав систему $\displaystyle\left\{{{0\ \textless \ 6k+3}\atop{6k+3\ \textless \ 5k+10}}\right$; решив её, мы получаем ответ, гласящий, что $k\in(-\frac{1}{2};7)$

итак, ответ: 
1. корень уравнения $x$ равен $\cfrac{4k-1}{k+2}$, причём $x\neq-1$; 
2. параметр $k$ принадлежит объединению интервалов $(-\frac{1}{2};-\frac{1}{5})(-\frac{1}{5};0)(0;7)$

Answer 2

ОДЗ
{k≠0
{x+1≠0⇒x≠-1
k(x-4)+2(x+1)=1
kx-4k+2x+2=1
x(k+2)=4k-1
x=(4k-1)/(k+2)
{(4k-1)/(k+2)>-2
{(4k-1)/(k+2)<3
{k≠0
{(4k-1)/(k+2)≠-1
1)(4k-1)/(k+2)+2>0
(4k-1+2k+4)/(k+2)>0
(6k+3)/(k+2)>0
k=-0,5  k=-2
k<-2 U k>-0,5
2)(4k-1)/(k+2)-3<0
(4k-1-3k-6)/(k+2)<0
(k-7)/(k+2)<0
k=7  k=-2
-2<k<7
3)k≠0
4)(4k-1)/(k+2)≠-1
4k-1≠-k-2
4k+k≠-2+1
5k≠-1
k≠-0,2

\\\\\\\\\\\\\\\\\               //////////////////////////////////////////////////////////
----------(-2)---------(-0,5)-------(-0,2)----------(0)---------(7)--------
              \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\
 k∈(-0,5;-0,2) U (-0,2;0) U (0;7)