Question

$4^{x} + 10^{x} = 25^{x}$ Задание повышенной сложности, 11 класс. Уравнение имеет один корень, найдите его.

Answer 1

2²ˣ + 5ˣ * 2ˣ - 5²ˣ = 0
нужно разделить равенство на любое из двух присутствующих в уравнении оснований в старшей степени:
или на 2²ˣ или на 5²ˣ (оба эти числа ≠0)
разделим на 5²ˣ, получим: 
(2/5)²ˣ + (2/5)ˣ - 1 = 0 квадратное уравнение относительно (2/5)ˣ > 0
D=1+4=5
(2/5)ˣ = (-1-√5)/2 < 0 посторонний корень 
(2/5)ˣ = (-1+√5)/2
х = log_(2/5) ( (√5-1)/2 )

Answer 2

Гениально!

Answer 3

разве? стандартный прием...

Answer 4

Может быть Вы знаете интересную книжку, где такие приемы описываются? В школьных учебниках если и есть, то между строк.

Answer 5

я посмотрю... показательные уравнения часто сводятся либо к "простым" показательным либо к квадратным относительно степени, но (!) основание одно... потому задача: свести все к одному основанию... здесь основания два: 2 и 5... потому все сводится или к основанию (2/5) или к основанию (5/2)

Answer 6

$4^x+10^x=25^x|:25^x;~frac{4^x}{25^x}+frac{10^x}{25^x}=frac{25^x}{25^x};~(frac{4}{25})^x+(frac{10}{25})^x=1;~\(frac{2}{5})^{2x}+(frac{2}{5})^x=1;~(frac{2}{5})^{2x}+(frac{2}{5})^x-1=0;~[(frac{2}{5})^x=a,a textgreater 0]~a^2+a-1=\=0;~D=1^2-4*(-1)=5;~a_{1,2}=frac{-1бsqrt{5}}{2}~toleft[begin{array}{ccc}a_1=frac{-1+sqrt{5}}{2}\a_2=frac{-1-sqrt{5}}{2}end{array}right;~\a_2 notin ODZ~to(frac{2}{5})^x=a_1=frac{-1+sqrt{5}}{2}~to~x=log_{frac{2}{5}}(sqrt{5}-1)-log_{frac{2}{5}}2$