Question

Какими целыми числами выражаются стороны равнобедренного треугольника, если радиус вписанной окружности равен 3/2 см, а описанной 25/8 см?

Answer 1

Радиусы вписанной в равнобедренный треугольник и описанной около равнобедренного треугольника окружности равны соответственно:

$r = dfrac{b}{2} sqrt{ dfrac{2a - b}{2a + b} } \ \ R = dfrac{a^2}{ sqrt{4a^2 - b^2} } = dfrac{a^2}{ sqrt{(2a - b)(2a + b)} }$,
где a - боковая сторона, b - основание, r - радиус вписанной окружности, R- радиус описанной окружности.

Сделаем замену переменных, чтобы было легче преобразовывать.
Пусть $t = 2a - b, z = 2a + b$

$2r = b sqrt{dfrac{t}{z} } \ \ R = dfrac{a^2}{ sqrt{tz} } \ \ \ 3 = b sqrt{dfrac{t}{z} } \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a^2}{ sqrt{tz} }$

Разделим первое уравнение на второе:

$dfrac{3}{ dfrac{25}{8} } = dfrac{b sqrt{t} sqrt{tz} }{ sqrt{z}a^2 } \ \ \ dfrac{24}{25} = dfrac{bt}{a^2}$

Сделаем обратную замену:

$dfrac{24}{25} = dfrac{b(2a - b)}{a^2} \ \ 24a^2 = 50ab - 25b^2 \ \ 24a^2 - 50ab + 25b^2 = 0 |: b^2 \ \ 24 dfrac{a^2}{b^2} - 50 dfrac{a}{b} + 25 = 0$

Пусть $x = dfrac{a}{b}$

$24x^2 - 50x + 25 = 0 \ \ D = 2500 - 25 cdot 4 cdot 24 = 100 = 10^2 \ \ x_1 = dfrac{50 + 10}{24 cdot 2} = dfrac{60}{12 cdot 4} = dfrac{5}{4} \ \ x_2 = dfrac{50 - 10}{24 cdot 2} = dfrac{40}{48} = dfrac{5}{6}$

Значит, боковая сторона относится к основанию как 5:4, либо как 5:6.

Обратная замена:

$dfrac{25}{8} = dfrac{a^2}{ sqrt{4a^2 - b^2} } \ \ a = 1,25b \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{6,25b^2}{ sqrt{4 cdot 6,25b^2 - b^2 } } \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{25b^2}{16 sqrt{25b^2 - b^2} } \ \ \ 1 = dfrac{b^2}{2 sqrt{24b^2} } \ \ 2 = dfrac{b^2}{2 sqrt{6}b } \ \ 4 = dfrac{b}{ sqrt{6} } \ \ b = 4 sqrt{6}$ 

Получилось, что основание выражается иррациональным числом. Значит, данное значение не подходит.

Теперь решим второе уравнение:

$dfrac{a}{b} = dfrac{5}{6} \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a^2}{ sqrt{4a^2 - b^2} } \ \ \  dfrac{b}{a} = 1,2 \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a^2}{ sqrt{4a^2 - b^2} } \ \ b = 1,2a \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a^2}{ sqrt{4a^2 - 1,44a^2} } \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a}{ sqrt{2,56} } \ \ dfrac{25}{8} = dfrac{a}{1,6} \ \ a = 5 \ \ b = 1,2a = 6$

Значит, боковая сторона равна 5 см, а основание - 6 см.
Ответ: 5 и 6.