Question

Пусть f(0)=0, f(1)=3/2, f(n)=5/2f(n-1)-f(n-2), для n>=2. Вычислите значение бесконечной суммы 1/f(2^0)+1/f(2^1)+1/f(2^2)+...

Answer 1

Попробуем найти решение рекуррентного соотношения 
f(n + 2) = 5/2 * f(n + 1) - f(n)
в виде f(n) = a^n.

a^(n + 2) = 5/2 a^(n + 1) - a^n
Сокращаем на a^n: a^2 = 5/2 a - 1
2a^2 - 5a + 2 = 0
a = 2 или a = 1/2

Заметим, что если f(n) и g(n) - решения, то и a f(n) + b g(n) - тоже решение. Воспользуемся этим, чтобы подобрать решение, удовлетворяющее начальным условиям.

f(n) = a * 2^n + b * 2^(-n)

f(0) = a + b = 0
f(1) = 2a + b/2 = 3/2

a = 1, b = -1

Окончательно f(n) = 2^n - 2^(-n).

Осталось вычислить сумму.
$displaystylefrac1{2-frac12}+frac1{2^2-frac1{2^2}}+frac1{2^4-frac1{2^4}}+frac1{2^8-frac1{2^8}}+cdots=\=frac{2}{2^2-1}+frac{2^2}{2^4-1}+frac{2^4}{2^8-1}+frac{2^8}{2^{16}-1}+cdots=\=frac{2+1-1}{2^2-1}+frac{2^2+1-1}{2^4-1}+frac{2^4+1-1}{2^8-1}+frac{2^8+1-1}{2^{16}-1}+cdots=\=frac1{2-1}-frac1{2^2-1}+frac1{2^2-1}-frac1{2^4-1}+frac1{2^4-1}-cdots=frac1{2-1}=1$

Ответ. 1