Question

Решить уравнение)))

$(x^{20}+1)(1+x^2+x^4+...+x^{18})=20x^{19}$

Answer 1

раскроем скобки
1+x^2+x^4+...+x^38=20*x^19

пусть слева функция f(x), справа g(x)
критические точки обеих функций в x=0
f(0)=1 g(0)=0

f(x)>=1
g(x) возрастающая функция

на +оо f(x)>g(x) так как многочлен более высокой степени.

f(1)=20) g(1)=20
x=1 очевидный корень.

докажем что он единственный и в точке x=1 имеет место внутреннее касание обеих функций.

f'(x)= 2x + 4x^3 + ...+ 38x^37
g'(x)= 20*19*x^18

f'(1)= 2+4+...+ 38= 40*19/2= 20*19
g'(1)=20*19

f'(1)=g'(1) производные в x=1 равны.

f"(x)= 2+4*3x^2+...+38*37*x^36
g"(x)= 20*19*18*x^17

f"(1)=2+4*3+6*5+...+38*37=9500
g"(1)=20*19*18=6840

вторая производная в точке x=1 больше у f(x) . Значит имеет место внутреннее касание в этой точке и корень x=1 единственный.

Answer 2

Какая теорема гласит о монотонности?)

Answer 3

именно о единственности решения уравнений

Answer 4

хотя вы указали f(x) > g(x)

Answer 5

И на отсутствие критических точек на рассматриваемом интервале...

Answer 6

Можно добавить еще монотонный рост первой и второй производной ...