Есть идеи как решить?
1) пытался логарифмировать обе части
2) приводить к одному основанию степени
В итоге остается куча логарифмов, из-за которых не могу решить квадратное уравнение, к которому сводится решение.
В итоге не получается ничего.
Возможно, решается очень легко, но я не могу найти решение.
Ответ известен (два корня): 8/5, 16
Приложения:
![](https://st.uroker.com/files/407/4074f91a920100e9990a57418c30fd14.png)
Ответы
Ответ дал:
2
Логарифмируем обе части по основанию 5:
![\displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)^{\log_5(\frac x8)}=\log_5\frac {1024}{x^3} \displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)^{\log_5(\frac x8)}=\log_5\frac {1024}{x^3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clog_5%5Cleft%28%5Cfrac+x%7B400%7D%5Cright%29%5E%7B%5Clog_5%28%5Cfrac+x8%29%7D%3D%5Clog_5%5Cfrac+%7B1024%7D%7Bx%5E3%7D)
Используем свойства логарифмов: log(a^b) = b log a, log(ab) = log a + log b
![\displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)\log_5\left(\frac x8\right)=\log_5\frac {1024}{x^3}\\
(\log_5 x-\log_5 400)(\log_5 x-\log_58)=\log_51024-3\log_5x\\
\log_5^2x+(3-\log_5400-\log_58)\log_5x+\log_58\log_5400-\log_51024=0 \displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)\log_5\left(\frac x8\right)=\log_5\frac {1024}{x^3}\\
(\log_5 x-\log_5 400)(\log_5 x-\log_58)=\log_51024-3\log_5x\\
\log_5^2x+(3-\log_5400-\log_58)\log_5x+\log_58\log_5400-\log_51024=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cdisplaystyle+%5Clog_5%5Cleft%28%5Cfrac+x%7B400%7D%5Cright%29%5Clog_5%5Cleft%28%5Cfrac+x8%5Cright%29%3D%5Clog_5%5Cfrac+%7B1024%7D%7Bx%5E3%7D%5C%5C%0A%28%5Clog_5+x-%5Clog_5+400%29%28%5Clog_5+x-%5Clog_58%29%3D%5Clog_51024-3%5Clog_5x%5C%5C%0A%5Clog_5%5E2x%2B%283-%5Clog_5400-%5Clog_58%29%5Clog_5x%2B%5Clog_58%5Clog_5400-%5Clog_51024%3D0)
Получилось квадратное уравнение относительно логарифма x с не очень красивыми числами. Попробуем сделать их немного красивее:
![3-\log_5400-\log_58=3-\log_5(16\cdot25)-\log_58=3-\log_516-2-\\-\log_58=1-4\log_52-3\log_52=1-7\log_52\\
\log_58\log_5400-\log_51024=3\log_52(2+4\log_52)-10\log_52=\\=12\log_5^22-4\log_52 3-\log_5400-\log_58=3-\log_5(16\cdot25)-\log_58=3-\log_516-2-\\-\log_58=1-4\log_52-3\log_52=1-7\log_52\\
\log_58\log_5400-\log_51024=3\log_52(2+4\log_52)-10\log_52=\\=12\log_5^22-4\log_52](https://tex.z-dn.net/?f=3-%5Clog_5400-%5Clog_58%3D3-%5Clog_5%2816%5Ccdot25%29-%5Clog_58%3D3-%5Clog_516-2-%5C%5C-%5Clog_58%3D1-4%5Clog_52-3%5Clog_52%3D1-7%5Clog_52%5C%5C%0A%5Clog_58%5Clog_5400-%5Clog_51024%3D3%5Clog_52%282%2B4%5Clog_52%29-10%5Clog_52%3D%5C%5C%3D12%5Clog_5%5E22-4%5Clog_52)
Уже лучше:
![\log_5^2x+(1-7\log_52)\log_5x+(12\log_5^22-4\log_52)=0 \log_5^2x+(1-7\log_52)\log_5x+(12\log_5^22-4\log_52)=0](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clog_5%5E2x%2B%281-7%5Clog_52%29%5Clog_5x%2B%2812%5Clog_5%5E22-4%5Clog_52%29%3D0)
Это квадратное уравнение относительно log5(x). Решаем через дискриминант.
![D=(1-7\log_52)^2-4(12\log_5^22-4\log_52)=49\log_5^22-14\log_52+1-\\-48\log_5^22+16\log_52=\log_5^22+2\log_52+1=(\log_52+1)^2\\
\log_5x=\dfrac{(7\log_52-1)\pm(\log_52+1)}2 D=(1-7\log_52)^2-4(12\log_5^22-4\log_52)=49\log_5^22-14\log_52+1-\\-48\log_5^22+16\log_52=\log_5^22+2\log_52+1=(\log_52+1)^2\\
\log_5x=\dfrac{(7\log_52-1)\pm(\log_52+1)}2](https://tex.z-dn.net/?f=D%3D%281-7%5Clog_52%29%5E2-4%2812%5Clog_5%5E22-4%5Clog_52%29%3D49%5Clog_5%5E22-14%5Clog_52%2B1-%5C%5C-48%5Clog_5%5E22%2B16%5Clog_52%3D%5Clog_5%5E22%2B2%5Clog_52%2B1%3D%28%5Clog_52%2B1%29%5E2%5C%5C%0A%5Clog_5x%3D%5Cdfrac%7B%287%5Clog_52-1%29%5Cpm%28%5Clog_52%2B1%29%7D2)
Получаем, что log5(x) = 4 log5(2) или log5(x) = 3log5(2) - 1
Осталось избавиться от логарифмов.
![\left[\begin{array}{l}\log_5x=4\log_52\\\log_5x=3\log_52-1\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2^4\\x=\dfrac{2^3}5\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=16\\x=\dfrac{8}5\end{array}\right. \left[\begin{array}{l}\log_5x=4\log_52\\\log_5x=3\log_52-1\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2^4\\x=\dfrac{2^3}5\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=16\\x=\dfrac{8}5\end{array}\right.](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7D%5Clog_5x%3D4%5Clog_52%5C%5C%5Clog_5x%3D3%5Clog_52-1%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5CLongleftrightarrow+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D2%5E4%5C%5Cx%3D%5Cdfrac%7B2%5E3%7D5%5Cend%7Barray%7D%5Cright.%5CLongleftrightarrow+%5Cleft%5B%5Cbegin%7Barray%7D%7Bl%7Dx%3D16%5C%5Cx%3D%5Cdfrac%7B8%7D5%5Cend%7Barray%7D%5Cright.)
Используем свойства логарифмов: log(a^b) = b log a, log(ab) = log a + log b
Получилось квадратное уравнение относительно логарифма x с не очень красивыми числами. Попробуем сделать их немного красивее:
Уже лучше:
Это квадратное уравнение относительно log5(x). Решаем через дискриминант.
Получаем, что log5(x) = 4 log5(2) или log5(x) = 3log5(2) - 1
Осталось избавиться от логарифмов.
Lifen100:
спасибо, только почему-то половина решения неверно отобразилось.
Вас заинтересует
5 месяцев назад
5 месяцев назад
1 год назад
1 год назад
2 года назад
2 года назад
7 лет назад
7 лет назад