Question

Есть идеи как решить?
1) пытался логарифмировать обе части
2) приводить к одному основанию степени
В итоге остается куча логарифмов, из-за которых не могу решить квадратное уравнение, к которому сводится решение.

В итоге не получается ничего.
Возможно, решается очень легко, но я не могу найти решение.
Ответ известен (два корня): 8/5, 16

Answer 1

Логарифмируем обе части по основанию 5:
$\displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)^{\log_5(\frac x8)}=\log_5\frac {1024}{x^3}$

Используем свойства логарифмов: log(a^b) = b log a, log(ab) = log a + log b
$\displaystyle \log_5\left(\frac x{400}\right)\log_5\left(\frac x8\right)=\log_5\frac {1024}{x^3}\\ (\log_5 x-\log_5 400)(\log_5 x-\log_58)=\log_51024-3\log_5x\\ \log_5^2x+(3-\log_5400-\log_58)\log_5x+\log_58\log_5400-\log_51024=0$

Получилось квадратное уравнение относительно логарифма x с не очень красивыми числами.  Попробуем сделать их немного красивее:
$3-\log_5400-\log_58=3-\log_5(16\cdot25)-\log_58=3-\log_516-2-\\-\log_58=1-4\log_52-3\log_52=1-7\log_52\\ \log_58\log_5400-\log_51024=3\log_52(2+4\log_52)-10\log_52=\\=12\log_5^22-4\log_52$

Уже лучше:
$\log_5^2x+(1-7\log_52)\log_5x+(12\log_5^22-4\log_52)=0$

Это квадратное уравнение относительно log5(x). Решаем через дискриминант.
$D=(1-7\log_52)^2-4(12\log_5^22-4\log_52)=49\log_5^22-14\log_52+1-\\-48\log_5^22+16\log_52=\log_5^22+2\log_52+1=(\log_52+1)^2\\ \log_5x=\dfrac{(7\log_52-1)\pm(\log_52+1)}2$

Получаем, что log5(x) = 4 log5(2) или log5(x) = 3log5(2) - 1
Осталось избавиться от логарифмов.

$\left[\begin{array}{l}\log_5x=4\log_52\\\log_5x=3\log_52-1\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=2^4\\x=\dfrac{2^3}5\end{array}\right.\Longleftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=16\\x=\dfrac{8}5\end{array}\right.$