Question

Вокруг некоторой планеты по круговой орбите радиуса R1 летает спутник со скоростью v. Если бы масса планеты была в четыре раза больше, то тот же спутник двигался бы со скоростью , но по орбите радиуса R2. Определите отношение радиусов орбит R2/R1

Answer 1

В первом случае первая космическая скорость спутника:
V₁ = √ (g₁*R₁)                 (1)

Во втором случае:
V₂ = √ (g₂*R₂)                 (2)

По условию V₁=V₂=V
Тогда приравняем (1) и (2):
√ (g₁*R₁)  = √ (g₂*R₂)  
 g₁*R₁  = g₂*R₂
 
Отсюда:
R₂/R₁ = g₁ / g₂

Остается выяснить вопрос об ускорениях свободного падения .
Из  формулы
g = G*Mпл / R²
следует, что при увеличении массы планеты в 4 раза ускорение тоже УВЕЛИЧИВАЕТСЯ в 4 раза, то есть:
g₂ = 4*g₁

R₂/R₁ = g₁ / (4*g₁) = 1 / 4

Ответ: R₂ : R₁  =  1 : 4