Question

Задача для 11 класса, правило Лопиталя, ряды Тейлора и т. д. использовать нельзя.
$lim_{x to 0} frac{e^{ax}-e^{bx}}{x}$. Сделал (e^(ax)-1)/x - (e^(bx)-1)/x, а дальше как?

Answer 1

$lim_{x to 0} frac{ e^{ alpha x} - e^{ beta x} }{x} = lim_{x to 0} frac{( e^{ alpha x} - 1) - ( e^{ beta x} - 1) }{x} = lim_{x to 0} frac{ e^{ alpha x} - 1}{x} - \ - lim_{x to 0} frac{ e^{ beta x} - 1}{x} = lim_{x to 0} frac{ e^{ alpha x} -1}{ frac{ alpha x}{ alpha } } - lim_{x to 0} frac{ e^{ beta x} - 1 }{ frac{ beta x}{ beta } } = alpha lim_{x to 0} frac{ e^{ alpha x}-1 }{x} - \ - beta lim_{x to 0} frac{ e^{ beta x} - 1 }{x}$

И далее, учитывая, что $lim_{x to 0} frac{ e^{ alpha x} - 1}{ alpha x} = 1, lim_{x to 0} frac{ e^{ beta x} - 1}{ beta x} = 1$(как четвёртые замечательные пределы), получаем, что исходный предел равен $alpha * 1 - beta * 1 = alpha - beta$

Answer 2

Спасибо!