Question

Доказать, что в любом треугольнике точка пересечения медиан, точка пересечения высот и центр описанной окружности лежат на одной прямой

Answer 1

Лично мне нравится больше всего доказательство теоремы Эйлера, приведенной на рисунке. Оно очень наглядное, там сразу всё видно.
Дана окружность с центром O, ABC - вписанный треугольник.
Точка C1 противоположна C на окружности, что есть CC1- диаметр, O - его середина.
Пусть M - середина AB. H - точка пересечения высот треугольника ABC.
Тогда AH II BC1; так как обе прямые перпендикулярны BC; и так же BH II AC1; то есть AHBC1 - параллелограмм.
Поэтому точка M является серединой не только AB, но и C1H; так как диагонали параллелограмма пересекаются в их серединах.
Следовательно, CM - медиана (внимание!) не только треугольника ABC, то и треугольника CHC1, и - (еще раз внимание!) - точка G является точкой пересечения медиан обоих (!) треугольников.
Другой медианой треугольника CHC1 как раз и является прямая Эйлера HO, то и завершает доказательство - точка G лежит на OH.
Ясно так же, что HG/GO = 2, как и бывает всегда у медиан.

Answer 2

Неподвижной точкой как раз является центр тяжести.

Answer 3

Вроде бы я написал то же самое?

Answer 4

Да

Answer 5

А если взять, например, гомотетию с центром в H и коэффициентом 1/2, то описанная окружность перейдет в окружность Эйлера. Которая пройдет через M, середину CH и основание высоты (потому что H и точка на окружности, лежащая на CH, симметричны относительно AB). Там много таких фокусов. Но наглядность у них не очень.

Answer 6

Да, это самый простой способ доказать про окружность Эйлера