Question

В треугольнике ABC медианы AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке O. Известно, что AA₁ = 3. CC₁ = 12. AC = 7. Найдите медиану BB₁ и площадь треугольника ABC.

У меня получилось $S = dfrac{35 sqrt{15} }{2}$
$BB_1 = dfrac{ sqrt{1339} }{2}$

Возможно, у Вас получится другой ответ.
За ответ заранее спасибо :)

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в точке О, которая делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины (свойство).
AO составляет 2/3 от 3, ОА1 составлят 1/3 от 3.
АО = 2. ОА1 = 1
СО составляет 2/3 от 12, ОС1 составляет 1/3 от 12
СО = 8. OC = 4

Найдем площадь треугольника AOC по формуле Герона:
S = $sqrt{p*(p - a)* (p - b)* (p - c) }$

p = (a + b + c) / 2

p(AOC) = (AO + CO + AC) / 2
p(AOC) = (2 + 8 + 7) / 2 = 17 / 2

S(AOC) = $sqrt{ frac{17}{2} * ( frac{17}{2} - 2) * ( frac{17}{2} - 8) * ( frac{17}{2} - 7) }$ = $sqrt{ frac{17}{2} * frac{17 - 4}{2} * frac{17 - 16}{2} * frac{17 - 14}{2} }$ = $sqrt{ frac{17 * 13 * 1 * 3}{2*2*2*2} }$ = $sqrt{ frac{663}{16} }$ (кв. ед)

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников (свойство) ⇒ S(ABC) = 3 * S(AOC)

S(ABC) = $3 sqrt{ frac{663}{16} }$ = $frac{3}{4} sqrt{663}$ (кв. ед)
-----------------------------------------------------------------------------------------------
Площадь треугольника AOB1 равна половине площади треугольника AOC.

S(AOB1) = S(AOC) / 2

S(AOB1) = $frac{1}{2} * sqrt{ frac{663}{16} } = sqrt{ frac{663}{16 * 4} } = sqrt{ frac{663}{64} }$ (кв. ед)

p(AOB1) = (AO + OB1 + AB1) / 2
AB1 = AC / 2
AB1 = 7/2
OB1 = x

p(AOB1) = (2 + x + 7/2) / 2
p (AOB1) = $(frac{4 + 2x + 7}{2} ) / 2$ = $frac{11 + 2x}{4}$

S(AOB1) = $sqrt{ frac{11+2x}{4} * ( frac{11 + 2x}{4} - 2) * ( frac{11 + 2x}{4} - x) * ( frac{11 + 2x}{4} - frac{7}{2}) }$ 

$sqrt{ frac{11+2x}{4} * frac{11+2x - 8}{4} * frac{11 +2x - 4x}{4} * frac{11+2x - 14}{4} }$ = $sqrt{ frac{663}{64} }$

$sqrt{ frac{(11+2x) * (2x+3) * (11-2x) * (2x-3)}{4*4*4*4} } = sqrt{ frac{663}{64} }$

Возводим обе части уравнения в квадрат

$frac{(11+2x)*(11-2x)*(2x+3)*(2x-3)}{256}$ = $frac{663}{64}$

Умножаем обе части уравнения на 256
(121 - 4x²)(4x² - 9) = 2652
484x² - 16x⁴ - 1089 + 36x² - 2652 = 0
-16x⁴ + 520x² - 3741 = 0
x² = t
ОДЗ t > 0, т.к. результат возведения в четную степень не может быть отрицательным и длина не может быть равной нулю

-16t² + 520t - 3741 = 0
16t² - 520t + 3741 = 0
D = (-520)² - 4 * 16 * 3741 = 270400 - 239424 = 30976
√D = 176 

t1 = (520 + 176) / 32 = 696/32 = 21,75 

t2 = (520 - 176) / 32 = 344/32 = 10,75

Оба корня отвечают ОДЗ
X1 = √21,75
X2 = √10,75

BB1 = OB1 * 3
1) OB1 = √21,75, тогда BB1 = 3√21,75
2) OB1 = √10,75, тогда BB1 = 3√10,75

При подстановке обоих вариантов в формулу Герона для треугольника AOB1 получается одинаковая площадь

(Рисунок схематический)

Answer 2

Итак, треугольник AOC по условию определен однозначно - известны все три его стороны (2, 8, 7) Значит OB1 может иметь только одно значение. Откуда 2 решения, я так и не понял, уж простите. есть известная формула для длины медианы через стороны. Она получается из еще более известного свойства параллелограмма - сумма квадратов всех его сторон (четырех!) равна сумме квадратов диагоналей. И есть только одно правильное значение.

Answer 3

Я вот тоже об этом думаю. По формуле медианы получается первый вариант 3√21,75. Вероятно, второй вариант лишний - результат возведения в квадрат

Answer 4

Или даже результат решения через площадь. Отметьте нарушение, я не могу без него исправить

Answer 5

Ну разумеется, не могут существовать 2 равных треугольника AOC (по трем сторонам :)) с разными медианами OB1. Ваш первый ответ совпадает с моим. А второго просто нет :)

Answer 6

Согласна)