Question

Доказать, что если в треугольнике (a-b)/a = 1-2cosC, то треугольник равнобедренный.

Answer 1

Представим данное равенство в виде $dfrac{a}{a}- dfrac{b}{a} =1-2cos C$ или $1-dfrac{b}{a} =1-2cos C$, откуда $2cos C=dfrac{b}{a}$ .
Согласно теореме косинусов имеем $c^2=a^2+b^2-2abcos C$ .
Подставим значение $2cos C=dfrac{b}{a}$, получим $c^2=a^2+b^2-b^2$ или $c^2=a^2$, откуда, так как c>0 и a>0, найдем $c=a$

Таким образом, если в треугольнике $dfrac{a-b}{a} =1-2cos C$, то треугольник равнобедренный.

Что и требовалось доказать.