Question

Найдите первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой второй член равен 6, а сумма членов равна 1/8 суммы квадратов её членов.

Answer 1

Прогрессия  и квадраты членов ее

$A, Aq, Aq^2...\qquad S_1 = A/(1-q)\\ A^2, A^2q^2, A^2q^4...\qquad S_2 = A^2/(1-q^2) = 8S_1\\ Aq = 6\\\\ \left\{ \begin{aligned} &Aq=6\\ &8A/(1-q) = A^2/(1-q^2) \end{aligned} \right.\\\\ 8 = A/(1+q) = 6/(q+q^2)\\ q^2+q-3/4=0\\ (q-1/2)(q+3/2)=0\\ q_1 = 1/2\\ q_2 = -3/2$

Естественно, второй корень не подойдет, прогрессия-то не убывает. Значит знаменатель будет 1/2, так как второй член равен 6, первый будет 12, а сама прогрессия

12, 6, 3, 1.5....

Answer 2

{b1q=6⇒b1=6/q
{b1/(1-q)=1/8*b1²/(1-q²)⇒8b1/(1-q)=b1²/(1-q)(1+q)⇒b1/(1+q)=8⇒b1=8(1+q)
6/q=8(1+q)
8q(1+q)=6,q≠0
8q²+8q=6
4q²+4q-3=0
D=16+48=64
q=(-4-8)/8=-3/2⇒b1=-4 b последовательность -4,6,-9,.. не удов усл
q=(-4+8)/8=1/2⇒b1=12  и последовательность 12,6,3,... удов усл
Ответ b1=12,q=1/2