Question

Из вершины А треугольника АВС проведён отрезок АК, перпендикулярный плоскости треугольника. Найдите площадь треугольника ВСК, если АС=АВ=13, ВС=10, АК=16.

Answer 1

Т.к. КА по условию перпендикуляр, то КС и КВ - наклонные, АС и АВ соответственно их проекции на плоскость АВС.
По условию АС=АВ, значит, ΔАВС - равнобедренный с основанием СВ.
Т.к. проекции равны (АС=АВ), то равны сами наклонные, т.е. КС=КВ, и ΔВСК - равнобедренный с основанием СВ.
Проведем в ΔВСК высоту КН. Тогда $S_{DeltaBCK}= frac{1}{2} KH*CB$
КН также является наклонной для перпендикуляра АК, АН - ее проекция на плоскость АВС.
По теореме, обратной теореме о трех перпендикулярах, АН⊥СВ. Значит, АН является высотой, следовательно, и медианой в ΔАВС.
Отсюда, СН=ВН=5.
В ΔАВН по теореме Пифагора АН²=АВ²-ВН²
$AH= sqrt{13^2-5^2} = sqrt{8*18} = sqrt{16*9}=4*3=12$
В ΔКАН по теореме Пифагора КН²=АН²+АК²
$KH= sqrt{12^2+16^2} = sqrt{400} = 20$
Наконец, $S_{DeltaBCK}= frac{1}{2} *20*10=100$
Ответ: 100.