Question

Решить уравнение

$x^4-12x-17=0$

Answer 1

Решим методом неопределённых коэффициентов.
$x^4-12x-17=(x^2+px+q)(x^2+rx+s)$
$begin{cases} & text{ } p+r=0 \ & text{ } s+q+pr=0 \ & text{ } ps+qr=-12 \ & text{ } qs=-17 end{cases}Rightarrow begin{cases} & text{ } p=-r \ & text{ } s+q-r^2=0 \ & text{ } -rs+qr=-12 \ & text{ } qs=-17 end{cases}Rightarrow\ \ \ Rightarrowbegin{cases} & text{ } p=-r \ & text{ } q=-s+r^2\ & text{ } -rs+r(-s+r^2)=-12 \ & text{ } s(-s+r^2)=-17 end{cases}$

$begin{cases} & text{ } s= frac{r^3+12}{2r} \ & text{ } (r^2-s)s+17=0 end{cases}\ \ \ frac{r^3+12}{2r} cdot(r^2- frac{r^3+12}{2r} )+17=0|cdot 4r^2ne0\ \ (r^3+12)(2r^3-r^3-12)+68r^2=0\ (r^3+12)(r^3-12)+68r^2=0\ r^6+68r^2=144$

Пусть $r^2=t(t geq 0)$. Получим $t^3+68t=144$. Левая часть уравнения является возрастающей функцией(как сумма возрастающих функций), значит уравнение имеет один единственный корень. Путем подбора находим решение. Это t=2.

Обратная замена $r^2=2$ откуда $r=pm sqrt{2}$

Имеем коэффициенты: $r=-sqrt{2} ;,,,, p=sqrt{2} ;,,,, q=3sqrt{2} +1;,,,,,s=1-3sqrt{2}$ и $r=sqrt{2} ;,,,,, p=-sqrt{2} ;,,,, q=1-3sqrt{2} ;,,,, s=3sqrt{2} +1$

$x^2+sqrt{2} x+1+3sqrt{2}=0$ - уравнение действительных корней не имеет, так как D<0

$x^2-sqrt{2} x+1-3sqrt{2}=0$

Решив квадратное уравнение, получим $x_{1,2}= dfrac{sqrt{2}pm sqrt{-2+12sqrt{2}} }{2}$

Ответ: $dfrac{sqrt{2}pm sqrt{-2+12sqrt{2}} }{2} .$

Answer 2

поправил

Answer 3

Мне кажется, нужно определиться с тем, чему равно r, скажем, r=sqrt{2}, тогда p=-sqrt{2} и т д

Answer 4

Так всё верно?

Answer 5

Зачем плюс-минусы? В первой скобке берете плюс, во второй минус. И решаете два уравнения

Answer 6

В одном, скорее всего, дискриминант отрицательный