Question

Прошу помощи в решение задачи по математики.

В задаче дан степенной ряд.
На фото задание.

Решить надо:

а=4, b=7

Answer 1

$a=4; ,; b=7\\sumlimits _{n=1}^{infty }; frac{4^{n}x^{n}}{7^{n}cdot sqrt[4]{n+1}}=frac{4x}{7sqrt[4]{2}}+frac{16x}{49sqrt[4]{3}}+frac{64x}{343sqrt[4]{4}}+...\\ limlimits _{n to infty} ; frac{|u_{n+1}|}{|u_{n}|} = limlimits _{n to infty}; frac{4^{n+1}|x|^{n+1}}{7^{n+1}cdot sqrt[4]{n+2}}:frac{4^{n}|x|^{n}}{7^{n}cdot sqrt[4]{n+1}} =\\=limlimits _{n to infty}; frac{4^{n}cdot 4cdot |x|^{n}cdot |x|}{7^{n}cdot 7cdot sqrt[4]{n+2}}cdot frac{7^{n}cdot sqrt[4]{n+1}}{4^{n}cdot |x|^{n}} = frac{4}{7}cdot |x| textless 1\\-1 textless frac{4}{7}cdot x textless 1$

$- frac{7}{4} textless x textless frac{7}{4}\\xin (- frac{7}{4}; frac{7}{4} ); ; -; ; interval; sxodimosti\\x=frac{7}{4}:; ; sumlimits _{n+1}^{infty } frac{1}{sqrt[4]{n+1}} ; ; -; ; rasxoditsya; ,; t.k.; frac{1}{sqrt[4]{n+1}}sim frac{1}{sqrt[4]{n}} =frac{1}{n^{1/4}},; frac{1}{4} textless 1\\x=-frac{7}{4}; :; sumlimits _{n+1}^{infty } frac{(-1)^{n}}{sqrt[4]{n+1}} ; -; yslovno; sxoditsya; po; pr.; Lejbnica\\xin [-frac{7}{4};frac{7}{4}); -; oblast; sxodimosti$

Answer 2

$frac{4^n*x^n}{7^n* sqrt[4]{n+1} }$
К сожалению, знак ряда я здесь изобразить не могу.
Три первых члена ряда:
$a1= frac{4x}{7 sqrt[4]{2} } ; \ a2= frac{16x^2}{49 sqrt[4]{3} }; \ a3= frac{64x^3}{343 sqrt[4]{4} }$
Интервал сходимости можно найти по признаку Даламбера.
$lim_{n to infty} frac{a(n+1)}{a(n)} = lim_{n to infty} ( frac{4^{n+1}*x^{n+1}}{7^{n+1}* sqrt[4]{n+2} }: frac{4^n*x^n}{7^n* sqrt[4]{n+1} } )= lim_{n to infty} (frac{4x}{7}frac{ sqrt[4]{n+1} }{ sqrt[4]{n+2} } )$
Ряд сходится, если этот предел меньше 1.
$lim_{n to infty} ( frac{4x}{7}* sqrt[4]{ frac{n+1}{n+2} } )= frac{4x}{7}* lim_{n to infty} sqrt[4]{ frac{n+2-1}{n+2} } = \ = frac{4x}{7}* lim_{n to infty} sqrt[4]{1- frac{1}{n+2} }= frac{4x}{7}*1 textless 1$
|x| < 7/4
На концах интервала получаются ряды:
При x = 7/4:
$lim_{n to infty} ( frac{4^n}{7^n}*( frac{7}{4} )^n* frac{1}{ sqrt[4]{n+1} } )= lim_{n to infty} frac{1}{ sqrt[4]{n+1} }$
Это обобщенный гармонический ряд вида $frac{1}{n^k}$
Он расходится при показателе k ∈ (0; 1), как у нас и есть: k = 1/4 < 1
Значит, при x = 7/4 ряд расходится.
При x = -7/4 получается знакопеременный ряд, который сходится условно по признаку Лейбница.
Интервал сходимости: x ∈ [-7/4; 7/4)