Question

Докажите неравенство:(a+2)×(b+3)×(ab+1.5)>_(больше или равен)24ab, a,b>_(больше или равен)
0.

Answer 1

Для каждой скобки левой части используем неравенство Коши:

$a + 2 geq 2 sqrt{2a}$
$b+3 geq 2 sqrt{3b}$
$ab + 1.5 geq 2sqrt{1.5ab}$

Поскольку $a geq 0, b geq 0$, то левые и правые части написанных неравенств, очевидно, неотрицательны. Поэтому можем перемножить неравенства:

$(a+2)(b+3)(ab+1.5) geq 2 sqrt{2a} * 2 sqrt{3b} * 2 sqrt{1.5ab} = 8 sqrt{9 a^{2} b^{2} } = 8 * 3ab \ =24ab$, что и требовалось доказать.