Question

Помогите!
Три числа образуют арифметическую прогрессию. Если к первому числу прибавить 8, получится гоеметрическая прогрессия с суммой членов 26. Найти эти числа.

Answer 1

Пусть a1 - первый член арифметической прогрессии и d - шаг прогрессии. Тогда: a2 = a1 + d; a3 = a2 + d = a1 + 2d
Воспользуемся фактом, что когда первый член будет увеличен на 8, то сумма трёх чисел равна 26:
(a1 + 8) + a2 + a3 = (a1 + 8) + (a1 + d) + (a1 + 2d) = 26. Когда приведём подобные и сократим на 3, получим: 3a1 + 3d = 18; a1 + d =6
Итак, есть первое уравнение.
Т.к. после прибавления к первому числу получилась геометрическая прогрессия, то отношения второго числа к первому равно отношению третьего числа ко второму, или всё это равно знаменателю геометрической прогрессии, но он нам не понадобится. Записываем отношения чисел, не забывая, что в геометрической прогрессии первый член стал больше на 8 по сравнению с арифметической прогрессией.
a2/(a1 + 8) = a3/a2; (a1 + d)/(a1 + 8) = (a1 + 2d)/(a1 + d);
Воспользуемся первым уравнением a1 + d = 6:
6/(a1 + 8) = (6 + d)/6; (a1 + 8)(6 + d) = 36; 6a1 + 48 + d*a1 + 8d = 36;
6a1 + 6d + 2d + d*a1 + 12 = 0; 36 + 2d + d*a1 + 12 = 0; 2d + d*a1 + 48 = 0
Итак, имеем систему уравнений:
a1 + d = 6
2d + d*a1 + 48 = 0
Из первого уравнения выразим a1 = 6 - d и подставим во второе:
2d + d*(6 - d) + 48 = 0; 2d + 6d - d^2 + 48 = 0; d^2 - 8d - 48 = 0;
Решаем квадратное уравнение и получаем два корня:
d1 = 12 и  d2 = -4
1) рассматриваем первый корень
d1 = 12;
a1 = 6 - d1 = 6 - 12 = -6;
a2 = -6 + d = -6 + 12 = 6;
a3 = a2 + d = 6 + 12 = 18
Это арифметическая прогрессия. Делаем геометрическую, добавляя к первому числу 8:
b1 = a1 + 8 = -6 + 8 = 2; b2 = a2 = 6; b3 = a3 = 18
Отсюда видно,  это в самом деле геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3,
2) рассматриваем второй корень
d = -4;
a1 = 6 - d = 6 - (-4) = 10;
a2 = a1 + d = 10 + (-4) = 6;
a3 = a2 + d = 6 + (-4) = 2;
Делаем геометрическую прогрессию, добавляя к первому члену 8:
b1 = a1 + 8 = 10 + 8 = 18;
b2 = a2 = 6;
b3 = a3 = 2;
Это тоже геометрическая прогрессия, но со знаменателем 1/3

Итак, существуют два набора из трёх чисел, которые удовлетворяют условию:
1) -6; 6; 18
2) 10; 6 2;