Question

Довести тотожність cos⁡〖π/19+cos⁡〖3π/19+cos⁡〖5π/19+⋯+cos⁡〖17π/19=1/2〗 〗 〗 〗

Answer 1

В силу формулы $displaystylecosalpha sinbeta=frac{1}{2}left(sin(alpha+beta)-sin(alpha-beta)right)$ верна цепочка равенств:
$displaystyle cosfrac{pi}{19}sin frac{pi}{19}=frac{1}{2}sin frac{2pi}{19}$,
$displaystyle cosfrac{3pi}{19}sin frac{pi}{19}=frac{1}{2}left(sin frac{4pi}{19}-sinfrac{2pi}{19}right)$,
$displaystyle cosfrac{5pi}{19}sin frac{pi}{19}=frac{1}{2}left(sin frac{6pi}{19}-sinfrac{4pi}{19}right)$,
                    ................................

$displaystyle cosfrac{15pi}{19}sin frac{pi}{19}=frac{1}{2}left(sin frac{16pi}{19}-sinfrac{14pi}{19}right)$,
$displaystyle cosfrac{17pi}{19}sin frac{pi}{19}=frac{1}{2}left(sin frac{18pi}{19}-sinfrac{16pi}{19}right)$.
Сложим почленно эти равенства. В левой части получается
$displaystyle left(cosfrac{pi}{19}+cosfrac{3pi}{19}+ldots+cosfrac{15pi}{19}+cosfrac{17pi}{19}right)sin frac{pi}{19}$, а в правой все слагаемые сокращаются, кроме $displaystylesin frac{18pi}{19}=sin frac{pi}{19},$ которое сокращается с таким же множителем в левой части. Отсюда
$displaystylecosfrac{pi}{19}+cosfrac{3pi}{19}+ldots+cosfrac{15pi}{19}+cosfrac{17pi}{19}=frac{1}{2}$.

Answer 2

спасибо вам большое!!!!!!