Question

пусть x - действительное число. Докажите, что 2^(sinx)+2^(cosx) ≥ $2^{1- frac{1}{sqrt{2}} }$

Answer 1

Используя неравенство Коши, получим
$2^{sin x}+2^{cos x} geq 2 sqrt{2^{sin x}cdot 2^{cos x}} =2^{1+ frac{1}{sqrt{2}}sin(x+ frac{pi}{4}) } geq 2^{1-frac{1}{sqrt{2}}}$
Знак равенства достигается когда $1+frac{1}{sqrt{2}}sin(x+ frac{pi}{4}) =1-frac{1}{sqrt{2}}$
$sin(x+ frac{pi}{4} )=-1\ \ x+frac{pi}{4} =-frac{pi}{2}+2 pi k,k in Z\ \ x=-frac{3pi}{4} +2 pi k,k in Z$

То есть, достигается при $x=-frac{3pi}{4} +2 pi k,k in Z$

Answer 2

Спасибо !

Answer 3

Точно, неравенство Коши, вот оно)

Answer 4

:)