Question

(k+1)x^2-2x+1-k=0
Решить уравнение

Answer 1

решение: 

$displaystylemathtt{(k+1)x^2-2x+1-k=0;~[a=k+1;~b=-2;~c=1-k]~D=b^2-}\displaystylemathtt{-4ac=(-2)^2-4(k+1)(1-k)=4[1-(1-k)(1+k)]=}\displaystylemathtt{=4(1-[1^2-k^2])=4(1-1+k^2)=4k^2;}$

первый вариант, когда $displaystylemathtt{D textless 0}$; ответ: решений нет; решение: 

$displaystylemathtt{D textless 0~to~4k^2 textless 0~to~k^2 textless 0}$

второй вариант, когда $displaystylemathtt{D=0}$; ответ: $displaystylemathtt{x=(k+1)^{-1}}$ при $displaystylemathtt{k=0}$; решение: 

$displaystylemathtt{D=0~to~4k^2=0~to~k^2=0~to~k=0~to~x=frac{-bбsqrt{D}}{2a}=frac{-b}{2a}=}\displaystylemathtt{=frac{-(-2)}{2(k+1)}=frac{2}{2(k+1)}=frac{1}{k+1}}$

третий вариант, когда $displaystylemathtt{D textgreater 0}$; собственно, решение: 

$displaystylemathtt{D textgreater 0~to~4k^2 textgreater 0~to~k^2 textgreater 0~to~kin(-infty;0)(0;+infty)~to~x=}\displaystylemathtt{=frac{-bбsqrt{D}}{2a}=frac{-(-2)бsqrt{4k^2}}{2(k+1)}}=frac{2б2|k|}{2(k+1)}=frac{б|k|+1}{k+1}};$

$displaystylemathtt{x=frac{б|k|+1}{k+1}}}$ для $displaystylemathtt{kneq0}$, теперь стоит учесть ОДЗ: $displaystylemathtt{k+1neq0}$, как знаменатель, поэтому наша половина ответа выглядит так: при $displaystylemathtt{kin(-infty;-1)(-1;0)(0;+infty)}$ корень уравнения ищется по формуле $displaystylemathtt{x=frac{б|k|+1}{k+1}}}$

итак, поработав немного с модулем, можно вывести окончательный ответ:
1. $displaystylemathtt{x=-frac{k-1}{k+1}}$ при $displaystylemathtt{kin(-infty;-1)(-1;0)}$; 2. $displaystylemathtt{x=frac{k+1}{k+1}}}$ при $displaystylemathtt{k textgreater 0}$.