Question

Выберем среди всех натуральных чисел с нечетной суммой цифр
те, которые не больше 1000, и сложим их. Сколько получится?

Answer 1

$(1+3+5+7+9)+(10+12+...+18+21+23+...+29+30+...+\ +38+41+...+49+50+...+98)=25+(frac{10+18}{2}cdot5+frac{21+29}{2}cdot5+\ +frac{30+38}{2}cdot5+frac{41+49}{2}cdot5+...+frac{90+98}{2}cdot5)=25+5cdot(14+25+34+\ +45+54+65+74+85+94)=25+5cdot(frac{14+94}{2}cdot5+frac{25+85}{2}cdot4)=\ 25+5cdot(54cdot5+55cdot4)=25+5cdot490=2475.$
Эта сума чисел будет повторяться в числах из четным количеством сотен: 2, 4, 6 и 8. (Количество таких чисел равно $5cdot10=50$)

$(2+4+6+8)+(11+13+...+19+20+22+...+28+31+...+\ +39+40+...+48+51+...+99)=20+(frac{11+19}{2}cdot5+frac{20+28}{2}cdot5+\ +frac{31+39}{2}cdot5+frac{40+48}{2}cdot5+...+frac{91+99}{2}cdot5)=20+5cdot(15+24+35+\ +44+55+64+75+84+95)=20+5cdot491=2475.$
Эта сума чисел будет повторяться в числах из нечетным количеством сотен: 1, 3, 5, 7 и 9. (Количество таких чисел равно $5cdot10=50$)

В итоге получим общую сумму таких чисел:
$2475cdot10+50cdot(200+400+600+800)+\+50cdot(100+300+500+700+900)+1000=\ =24750+100000+125000+1000=250750$