Question

нужно решить, с объяснением, пожалуйста.

Answer 1

Сначала возьмём неопределённый интеграл: (1/2)∫dx/√(x+1)

Сделаем замену: t = x + 1; тогда dx = dt; получаем
(1/2) ∫ dt/√t = (1/2) ∫ t^(-1/2) dt = (1/2) * 2 * t^(1/2) = √t + C

На всякий случай поясню: √t = t^(1/2), а также 1/√t = 1/t^(1/2) = t^(-1/2).
Далее используем формулу интеграла от степенной функции, который равен этой же функции в степени на единицу больше, делённой на эту же степень. Т.е. ∫ (t^n) dx = (1/(n+1))*t^(n+1) + C

Возвращаемся к исходной переменной: (1/2) ∫ dx/√(x+1) = √(x+1) + C

Подставляем пределы интегрирования:
8                                 8
 ∫ dx/√(x+1) = √(x + 1) | = √(8+1) - √(0+1) = √9 - √1 = 3 - 1 = 2
0                                 0

Это воспользовались формулой Ньютона-Лейбница
a
 ∫ f(x) dx = F(a) - F(b), где F - первообразная
b