Question

найдите острый угол между касательными, проведёнными к кривым y=18/sqrt(x) и y = 12/sqrt(x)+2*sqrt(x)

Answer 1

Если уравнения касательных, проведенных к кривым $y=f_1(x)$ и $y=f_2(x)$, то тангенс угла между кривыми определяется соотношением
                    $displaystyle tg alpha = dfrac{f'_2(x_0)-f'_1(x_0)}{1+f_1'(x_0)f_2'(x_0)}$

Найдем точки пересечения графиков заданных функций 
$displaystyle left { {{y_1= frac{18}{ sqrt{x} } } atop {y_2=frac{12}{ sqrt{x} }}+2 sqrt{x} } right.$ т.е. $dfrac{18}{ sqrt{x} }=dfrac{12}{ sqrt{x} }+2 sqrt{x}$
Умножив обе части уравнения на $sqrt{x} ne0$, получим
$18=12+2x|:2\ 9=6+x\ x=3$
тогда $y= dfrac{18}{ sqrt{x} }=dfrac{18}{ sqrt{3} }=6 sqrt{3} .$

Далее находим производные заданных функций в найденной точке x=3, т.е.
$y'_1=bigg(dfrac{18}{ sqrt{x} }bigg)'=- dfrac{9}{x^{3/2}};,,,, y'_1(3)=-sqrt{3} \ \ \y_2'=bigg(dfrac{12}{ sqrt{x} }+2 sqrt{x} bigg)'=- dfrac{6}{x^{3/2}} + dfrac{1}{ sqrt{x} } ;,,,, y_2'(3)=-frac{1}{sqrt{3}}$

Тогда тангенс угла между кривыми:

 $tg alpha = dfrac{ -frac{1}{ sqrt{3} } + sqrt{3} }{1+(- frac{1}{sqrt{3}})cdot(- sqrt{3} ) } = dfrac{1}{sqrt{3}}$ откуда  $alpha =arctgbigg( dfrac{1}{sqrt{3}}bigg)=30а$