Question

Решите вот это уравнение

Answer 1

$2cos^2+3sin2-8sin^2x=0$
$sin2x= 2sinxcosx$
$2cos^2x+6sinxcosx-8sin^2x=0|:sin^2x$
$sin^2x neq 0$
$sinx neq (-1)^n pi n$ - этот корень не является решением данного уравнения, что легко выяснить подстановкой.
$2 frac{cos^2x}{sin^2x} +6 frac{sinxcosx}{sin^2x} -8=0$
$2ctg^2x+6ctgx-8=0$
делаем замену:
$ctgx =a$
$2a^2+6a-8=0$
$D = 36+(4*8*2) = 36+64 = 10^2$
$a_{1} = frac{-6+10}{4} =1$
$a_{2} = frac{-6-10}{4} = -4$
обратная замена:
$ctgx = 1$
$x = frac{ pi }{4} + pi n$
$ctgx = -4$
$x = arcctg(-4)+ pi n$

ответ: $x_{1} = frac{ pi }{4} + pi n$
$x_{2} = arcctg(-4)+ pi n$

Answer 2

у котангенса наименьший положительный период равен pi, а не 2pi

Answer 3

2сos²x + 3sin2x - 8sin²x = 0
Разложим синус удвоенного аргумента:
2cos²x + 6sinxcosx - 8sin²x = 0
cos²x + 3sinxcosx - 4sin²x = 0      |:sin²x
ctg²x + 3ctgx - 4 = 0
Пусть t = ctgx.
t² + 3t - 4 = 0
t₁ + t₂ = -3
t₁t₂ = -4
t₁ = -4
t₂ = 1
Обратная замена:
ctgx = 1
x = π/4 + πn, n ∈ Z
ctgx = -4
x = arcctg(-4) + πn, n ∈ Z

Ответ: x = π/4 + πn, n ∈ Z; arcctg(-4) + πn, n ∈ Z.