Question

x+xy+y=5
x^2+xy+y^2=7

Answer 1

Решение этой системы основывается на одном часто используемом приёме, непосредственно связанном с формулой квадрата суммы. Запишем её и дальше выразим сумму квадратов:

$(x+y)^{2} = x^{2} +2xy+ y^{2}$, откуда
$x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} -2xy$

То есть в самой системе мы можем заменить сумму квадратов этой разностью, при этом повторяться будут выражения $x+y$ и $xy$. Поэтому есть смысл ввести замену:
$x+y = u$, $xy = v$. Система переписывается:

$left { {{u+v = 5} atop { u^{2}-2v+v=7 }} right. \ left { {{v=5-u} atop { u^{2} - v = 7}} right. \ left { {{v = 5-u} atop { u^{2} - 5 + u = 7}} right. \ left { {{v = 5-u} atop { u^{2} + u - 12 = 0}} right.$

Решаем уравнение:
$u^{2} + u - 12 = 0 \ u_{1} = -4; u_{2} = 3$
Тогда из первого уравнения получаем:
$v_{1} = 5 - u_{1} = 5 + 4 = 9 \ v_{2} = 5 - u_{2} = 5 - 3 = 2$

Теперь возвращаемся к переменной x. при этом получаем ещё две системы:

$left { {{x+y = -4} atop {xy = 9}} right.$    и   $left { {{x+y = 3} atop {xy=2}} right.$

Можно решить эти системы прямым способом, выражая из одного уравнения и подставляя в другое. Можно пойти более короткой дорогой: эта система ни что иное как запись теоремы Виета для корней приведённого квадратного уравнения. По их сумме и произведению запишем квадратное уравнение. Его корни и есть одной из решений  этой системы.
Для первой системы:

$t^{2} + 4t + 9 = 0 \ D = 16 - 4cdot9 textless 0$ - следственно и решений первая система не имеет.

Вторая система:
$t^{2} - 3t + 2 = 0 \ t_{1} = 1 = x_{1} ; t_{2} = 2 = y_{1}$

Замечаем, что эта система имеет и ещё одно решение, симметричное полученному, поскольку от перестановки слагаемых(множителей) сумма(произведение) не меняется.
То есть, $x_{2} = 2; y_{2} = 1$

Таким образом, система имеет решениями две пары чисел:
$(1;2)$ и $(2;1)$