Question

Исследовать данную функцию методами дифференциального исчисления и построить их графики. y=x/(x2+1)
Исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:
1) найти область определения функции;
2) исследовать функцию на непрерывность;
3) определить, является ли данная функция четной, нечетной;
4) найти интервалы монотонности функциии точки ее экстремума;
5) найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба;
6) найти асимптоты графика функции.

Answer 1

ДАНО
Y = x/(x²+1)
ИССЛЕДОВАНИЕ
1. Область определения - X∈(-∞;+∞)
2.Непрерывная - разрывов нет.
Пересечение с осью Х.
У=0 → х = 0.
3. Исследование на чётность.
Y(-x) = - x/(x²+1) = - Y(x) - функция нечётная.
4. Интервалы монотонности
Первая производная функции
Y'(x) = 1/(x²+1) - 2x²/(x²+1)²
Корни первой производной
Y'(x)=0 → x = -1 и х = 1 - точки экстремума.
Возрастает - X∈[-1;1]
Убывает - Х∈(-∞1]∪[1;+∞)
Минимум - Y(-1) = - 0.5
Максимум - Y(1) = 0.5
 5. Исследование на перегибы.
Вторая производная функции  - 
Y"(x) = (2x³-6x)/(x⁶+3x⁴+3x²+1)
Точка перегиба -  Y"(x)=0 при Х=0.
Вогнутая - "ложка" - Х∈(-∞;0]
Выпуклая - "горка" - Х∈[0;+∞)
 6. Наклонная асимптота - Y= 0.
7. График прилагается.