Question

Решить уравнение

$3+sqrt{35x^2+12x+1}+sqrt{35x^2+27x+4}=$

$=sqrt{35x^2+33x+4}+sqrt{35x^2+48x+16}$

Answer 1

раскладываем трехчлены на множители:
$35x^2+12x+1=0 \D=144-140=4 \x_1=frac{-12+2}{70}=frac{-10}{70}=frac{-1}{7} \x_2=frac{-14}{70}=frac{-1}{5} \35(x+frac{1}{7} )(x+ frac{1}{5} )=(7x+1)(5x+1) \ \35x^2+48x+16=0 \D=2304-2240=64 \x_1=frac{-48+8}{70}=frac{-40}{70}=-frac{4}{7} \x_2=frac{-56}{70}=-frac{4}{5} \35(x+frac{4}{7})(x+frac{4}{5})=(7x+4)(5x+4)$
$\35x^2+27x+4=0 \D=729-560=169 \x_1=frac{-27+13}{70}=frac{-14}{70}=frac{-1}{5} \x_2=frac{-27-13}{70}=frac{-40}{70}=frac{-4}{7} \35(x+frac{1}{5})(x+frac{4}{7})=(5x+1)(7x+4) \ \35x^2+33x+4=0 \D=1089-560=529 \x_1=frac{-33+23}{70}=frac{-10}{70}=frac{-1}{7} \x_2=frac{-56}{70}=-frac{4}{5} \35(x+frac{1}{7})(x+frac{4}{5})=(7x+1)(5x+4)$
получим:
$3+sqrt{(7x+1)(5x+1)}+sqrt{(5x+1)(7x+4)}=\ =sqrt{(7x+1)(5x+4)}+sqrt{(7x+4)(5x+4)}$
рассматриваем 2 случая:
$1)sqrt{ab}=sqrt{a}*sqrt{b} \2)sqrt{ab}=sqrt{-a}*sqrt{-b}$
1)
$3+sqrt{7x+1}*sqrt{5x+1}+sqrt{5x+1}*sqrt{7x+4}\=sqrt{7x+1}*sqrt{5x+4}+sqrt{7x+4}*sqrt{5x+4} \ \3+sqrt{5x+1}*(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4})=sqrt{5x+4}*(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4}) \3=sqrt{5x+4}*(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4})-sqrt{5x+1}*(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4}) \3=(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4})*(sqrt{5x+4}-sqrt{5x+1}) \(sqrt{7x+1}+sqrt{7x+4})*(sqrt{5x+4}-sqrt{5x+1})=3$
одз:
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0

ясно, что  $sqrt{7x+1}-sqrt{7x+4} neq 0$ поэтому мы можем умножить уравнение на $(sqrt{7x+1}-sqrt{7x+4})$

$3*(sqrt{5x+4}-sqrt{5x+1})=3*(sqrt{7x+4}-sqrt{7x+1}) \sqrt{5x+4}-sqrt{5x+1}=sqrt{7x+4}-sqrt{7x+1}$
возводим обе части в квадрат:
$5x+4-2sqrt{(5x+4)(5x+1)}-5x-1= \=7x+4-2sqrt{(7x+4)(7x+1)}-7x-1 \ \-2sqrt{(5x+4)(5x+1)}+3=-2sqrt{(7x+4)(7x+1)}+3 \sqrt{(5x+4)(5x+1)}=sqrt{(7x+4)(7x+1)}$
еще раз возводим в квадрат:
(5x+4)(5x+1)=(7x+4)(7x+1)
но:
(5x+4)(5x+1)>=0 и (7x+4)(7x+1)>=0
$25x^2+5x+20x+4=49x^2+7x+28x+4 \24x^2+10x=0 \x(24x+10)=0 \x_1=0 \24x+10=0 \x_2=-frac{10}{24}=-frac{5}{12}$
проверяем:
(5*(-5)/12+4)(5*(-5/12)+1)>=0
-25/12<1, значит 2 скобка меньше 0.
корень x=-5/12 не подходит.
проверяем 0:
4*1>=0
4*1>=0
1>=0
4>=0
4>=0
1>=0 - верно, значит x=0 - корень уравнения
теперь рассмотрим 2 случай:
2)
$3+sqrt{-(7x+1)}*sqrt{-(5x+1)}+sqrt{-(5x+1)}*sqrt{-(7x+4)}\=sqrt{-(7x+1)}*sqrt{-(5x+4)}+sqrt{-(7x+4)}*sqrt{-(5x+4)}\ \3+sqrt{-(5x+1)}*(sqrt{-(7x+1)}+sqrt{-(7x+4)})= \=sqrt{-(5x+4)}*(sqrt{-(7x+1)}+sqrt{-(7x+4)}) \ \sqrt{-(5x+4)}*(sqrt{-(7x+1)}+sqrt{-(7x+4)})- \sqrt{-(5x+1)}*(sqrt{-(7x+1)}+sqrt{-(7x+4)})=3 \ \(sqrt{-(5x+4)}-sqrt{-(5x+1)})*(sqrt{-(7x+4)}+sqrt{-(7x+1)})=3$
одз:
-(7x+1)<=0
-(7x+4)<=0
-(5x+4)<=0
-(5x+1)<=0
или
7x+1>=0
7x+4>=0
5x+4>=0
5x+1>=0
одз 1 и 2 случая совпали
ясно, что $sqrt{-(7x+4)}-sqrt{-(7x+1)} neq 0$
тогда умножаем уравнение на $(sqrt{-(7x+4)}-sqrt{-(7x+1)})$
$(sqrt{-(5x+4)}-sqrt{-(5x+1)})*(-7x-4+7x+1)= \=-3*(sqrt{-(7x+1)}-sqrt{-(7x+4)}) \ \-3*(sqrt{-(5x+4)}-sqrt{-(5x+1)})=-3*(sqrt{-(7x+4)}-sqrt{-(7x+1)}) \sqrt{-(5x+4)}-sqrt{-(5x+1)}=sqrt{-(7x+4)}-sqrt{-(7x+1)}$
выносим $sqrt{-1}$ за скобку и сокращаем:
$sqrt{-1}*(sqrt{(5x+4)}-sqrt{(5x+1)})=sqrt{-1}*(sqrt{(7x+4)}-sqrt{(7x+1)}) \sqrt{(5x+4)}-sqrt{(5x+1)}=sqrt{(7x+4)}-sqrt{(7x+1)}$
получили тоже самое уравнение с тем же одз, что и в случае 1
Ответ: x=0

Answer 2

Не очень читаемое (((

Answer 3

++

Answer 4

зато правильно

Answer 5

Полагаю есть проще решение :)

Answer 6

Корень из произведения не всегда равен произведению корней