Question

$frac{1}{x} + frac{1}{ sqrt{ 1-x^{2} } } = frac{35}{12}$ Задача повышенной сложности, 8 класс. Решить в рамках школьной программы 8 класса. Ошибок в условии нет.

Answer 1

Возведем уравнение в квадрат. Поскольку при этом могут возникнуть лишние корни, сделаем в конце проверку:

$frac{1}{x^2}+frac{2}{xsqrt{1-x^2}}+frac{1}{1-x^2}=frac{1225}{144};$

$frac{1}{x^2(1-x^2)}+frac{2}{xsqrt{1-x^2}}=frac{1225}{144}; frac{1}{xsqrt{1-x^2}}=t; t^2+2t=frac{1225}{144};$

$(t+1)^2=frac{1369}{144}; (t+1)^2=left(frac{37}{12}right)^2; t+1=pmfrac{37}{12};$

$left [ {{t=frac{25}{12}} atop {t=-frac{49}{12}}} right. };$

1) $frac{1}{xsqrt{1-x^2}}=frac{25}{12}; 625x^2(1-x^2)=144; x^2=y; 625y^2-625y+144=0;$

$left [ {{y=frac{16}{25}} atop {y=frac{9}{25}}} right. ; left [ {{x=pmfrac{4}{5}} atop {x=pmfrac{3}{5}}} right.$

Поскольку в этом случае $x textgreater 0,$ оставляем только положительные корни. Подстановка в исходное уравнение показывает, что оба подходят.

2) $frac{1}{xsqrt{1-x^2}}=-frac{49}{12}; 2401x^2(1-x^2)=144; 49x^2=y;$

$y^2-49y^2+144=0; y=frac{49pm 5sqrt{73}}{2}; x=pmfrac{1}{7}sqrt{frac{49pm5sqrt{73}}{2}}$ 

В этом случае оставляем только отрицательные корни.

Подстановка в исходное уравнение оставляет
$x=-frac{1}{7}sqrt{frac{49+5sqrt{73}}{2}}$

Поскольку задача повышенной сложности, рутинные выкладки я оставляю автору задания, подскажу только, что в процессе придется доказать, что 

$sqrt{49+5sqrt{73}}-sqrt{49-5sqrt{73}}=5sqrt{2}$

А доказывается это простым возведением в квадрат.

Замечание. Есть второй способ решения задачи - с помощью тригонометрической замены.

Ответ: $frac{3}{5}; frac{4}{5}; -frac{1}{7}sqrt{frac{49+5sqrt{73}}{2}}$ 

Answer 2

Неужели я даже такое научусь решать? https://znanija.com/task/24967033

Answer 3

Иррациональные корни лишние да и ответ будет 5/4 и 5/3

Answer 4

Хотя у меня ошибка) я под корнем решал sqrt(x^2-1)

Answer 5

3 строчка , разве не нужен t+1 модуль?

Answer 6

нет. (sqrt(x))^2 = x