Question

Помогите решить диф. уравнение

y' + y*tg(x) = 1/cos(x), y(0)=1

Answer 1

Имеем линейное дифференциальное уравнение. Решение будем искать в виде произведения двух функций $y=u(x)times v(x)$, тогда по правилу дифференцирования произведения: $y'=u'v+uv'.$
Подставляя замену в исходное уравнение, получим
.                                           $u'v+uv'+uv,tg x= dfrac{1}{cos x} \ u'v+u(v'+vtg x)= dfrac{1}{cos x}$
Функцию v подбираем так, чтобы выражение в скобках равнялось 0. То есть, имеет место система
.                                                  $displaystyle left { {{v'+v, tgx=0} atop {u'v= frac{1}{cos x} }} right.$
Первое дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными:
.      $displaystyle v'=-vtgxRightarrow,, frac{dv}{dx} =-v, tgxRightarrow intlimits{ frac{dv}{v} } = intlimits -tg xdxRightarrow,, ln |v|=ln|cos x|$
 откуда     $v=cos x$
Подставим найденное значение $v$ во второе уравнение системы:
.                    $displaystyle frac{du}{dx}= frac{1}{cos^2 x}Rightarrow,, intlimits du= intlimits frac{dx}{cos^2 x}Rightarrow,, u=tgx+C$
Возвращаемся к обратной замене.
.                   $y=(tg x+C)cos xRightarrow,,, y=sin x+ Ccos x$
Найдем теперь частное решение задачи Коши, используя начальное условие $y(0)=1$, найдем значение константы интегрирования:
.                    $1=sin0+CRightarrow,,, C=1.$
Таким образом, частное решение заданного уравнения будет иметь вид:
.                                           $boxed{y=sin x+cos x}$

Ответ: $y=sin x+cos x.$

Answer 2

Спасибо! <3