Question

даны площадь и радиус описанной окружности прямоугольного треугольника.через них нужно выразить стороны

Answer 1

Предположим R - радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности, а S - площадь этого треугольника. Надо выразить a и b - катеты и с гипотенузу треугольника. По свойствам треугольника, в частности теореме Пифагора, и описанной окружности имеем следующее:
$acdot b=2S,\ c=2R,\ b=sqrt{c^2-a^2}.$
Тогда
$b=sqrt{4R^2-a^2}=frac{2S}{a};\ 4R^2-a^2=frac{4S^2}{a^2};\ frac{4S^2+a^4-4R^2a^2}{a^2}=0;\ a^4-4R^2a^2+4S^2=0;\ a^2=x,Rightarrow x^2-4R^2x+4S^2=0;\ D'=4R^4-4S^2,,x_{1,2}=2R^2pmsqrt{4R^4-4S^2}=2R^2pm2sqrt{R^4-S^2}$
Избавляясь от постороннего решения, получим
$a=sqrt{2R^2-2sqrt{R^4-S^2}},,b=sqrt{2R^2+2sqrt{R^4-S^2}},\ c=2R.$

Answer 2

если площадь прямоугольного треугольника = половине произведения катетов: S = a*b/2, то произведение катетов отсюда a*b = 2*S