Question

Даны четыре вектора в некотором базисе.Показать что векторы a,b,c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. a(3,4,-3); b(-5,5,0); c(2,1,-4); d(8,-16,17).Помогите решить с раскрытым и понятным решением

Answer 1

1) чтобы показать что векторы a,b,c образуют базис, нужно чтобы определитель из их координат был отличен от нуля:(первая строка по первым числам координат, вторая- по вторым и третья-по третьим)

раскладываем по третьей строке:

$\begin{vmatrix} 3 &-5 &2 \\ 4 & 5 & 1 \\ -3 & 0 & -4 \end{vmatrix}=-3*\begin{vmatrix}-5 &2 \\ 5& 1\end{vmatrix}-4*\begin{vmatrix}3& -5 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}=-3*(-5-10 )- \\ \\ -4*(15+20)=-3*(-15)-4*35=-95 \neq 0$

определитель не равен нулю, значит векторы a,b,c образуют базис

2) вектор d в этом базисе будет иметь координаты:
$d= \alpha a+ \beta b+ \gamma c$

вся задача сводится к тому, чтобы найти α,β и γ

перепишем все в координатной форме:

$(8,-16,17)= \alpha (3,4,-3)+ \beta (-5,5,0)+ \gamma (2,1,-4) \\ \\ (8,-16,17)=(3 \alpha ,4 \alpha ,-3 \alpha )+ (-5 \beta ,5 \beta ,0)+ (2\gamma,\gamma,-4\gamma) \\ \\ \left\{\begin{matrix} 3\alpha -5\beta +2\gamma =8 \\ 4\alpha +5\beta +\gamma =-16 \\ -3\alpha+ 0\beta -4\gamma =17 \end{matrix}\right.$

решаем систему методом Гаусса:

$\begin{pmatrix} 3 & -5& 2 &8 \\ 4&5 & 1 &-16 \\ -3 & 0 & -4& 17 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 & -5& 2 &8 \\ 4&5 & 1 &-16 \\ 0 & -5 & -2 & 25 \end{pmatrix}= \\ \\ \\ =\begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 \\ -12& -15 & -3 & 48\\ 0 & -5 & -2& 25 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 \\ 0& -35 & 5 & 80 \\ 0 & -5 & -2 & 25 \end{pmatrix}= \\ \\ \\ = \begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 \\ 0& -35 & 5 & 80 \\ 0 & 35 & 14 & -175 \end{pmatrix} =$

$=\begin{pmatrix} 12 & -20& 8 &32 \\ 0& -35 & 5 & 80 \\ 0 & 0 & 19 & -95 \end{pmatrix}$

$\left\{\begin{matrix} 12\alpha -20\beta +8\gamma =32 \\ -35\beta +5\gamma =80 \\ 19\gamma =-95 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\alpha -20\beta +8\gamma =32 \\ -35\beta -25 =80 \\ \gamma =-5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 12\alpha+60 -40=32 \\ \beta =-3 \\ \gamma =-5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \alpha =1 \\ \beta =-3 \\ \gamma =-5 \end{matrix}\right.$

$OTBET: \ d=a-3b-5c$