Question

Криволинейный интеграл 1 рода!!!

Answer 1

статический момент, относительно ОХ:
$M_x= intlimits_L {y rho (x,y)} , dl$
где ρ(x,y) - плотность

по условию ρ(x,y)=х


Для эллипса $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} =1$
x=acost
y=bsint

Переходим в параметрические координаты:

$x=cost \ y=2sint$

так как эллипс - симметричная фигура, возьмем только первую четверть:

$M_x= intlimits_L {y rho (x,y)} , dl = intlimits_L {y x} , sqrt{(x'_t)^2+(y'_t)^2} dt= \ \ = intlimits^{ pi /2}_0 {2sint*cost} , sqrt{sin^2t+4cos^2t} dt= \ \ =2intlimits^{ pi /2}_0 {sint*cost} , sqrt{1-cos^2t+4cos^2t} dt= \ \ =2intlimits^{ pi /2}_0 {sint*cost} , sqrt{1+3cos^2t} dt= -2intlimits^{ pi /2}_0 {cost} , sqrt{1+3cos^2t} d(cost)=$

$=begin{bmatrix}cost=a\ cos0 = 1\cosfrac{pi}{2}=0end{bmatrix}= -2intlimits^{0}_1 {a sqrt{1+3a^2}} , d(a)=-intlimits^{0}_1 { sqrt{1+3a^2}} , d(a^2)= \ \ =- frac{1}{3} intlimits^{0}_1 { sqrt{1+3a^2}} , d(3a^2+1)=- frac{1}{3} intlimits^{0}_1 {(1+3a^2)^ frac{1}{2} } , d(3a^2+1)= \ \ = -frac{1}{3} * frac{2(1+3a^2)^ frac{3}{2} }{3} = -frac{2}{9} (1+3a^2)^ frac{3}{2} |^0_1 = -frac{2}{9}(1-8)=frac{14}{9}$

мы нашли только четверть момента эллипса, а чтобы найти момент всего, надо результат умножить на 4

$frac{14}{9}*4= frac{56}{9} \ \ OTBET: frac{56}{9}$

Answer 2

А у вас не остался черновик с решением?

Answer 3

Нет

Answer 4

Ладно, спасибо огромное!