Question

2cos2x+4√3cosx-7=0 решите уравнение,и укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5 pi /2;4 pi ] Полное решение, пожалуйста

Answer 1

$2cos2x + 4 sqrt{3} cosx - 7 = 0 \ \ 2(2cos^2x - 1) + 4 sqrt{3} cosx - 7 = 0 \ \ 4cos^2x + 4 sqrt{3} cosx - 9 = 0$

Пусть t = cosx, t ∈ [-1; 1].

$4t^2 + 4 sqrt{3} t - 9 = 0 \ \ D = 48 + 4 cdot 4 cdot 9 = 192 = (8 sqrt{3} )^2 \ \ t_1 = dfrac{-4 sqrt{3} +8 sqrt{3} }{8} = dfrac{4 sqrt{3} }{8} = dfrac{ sqrt{3} }{2} \ \ t_2 = dfrac{-4 sqrt{3} -8 sqrt{3} }{8} = -dfrac{12 sqrt{3} }{8} - postoronniy koren$

Обратная замена:

$cosx = dfrac{ sqrt{3} }{2} \ \ boxed{x = pm dfrac{ pi }{6} +2 pi n, n in Z} \ \ dfrac{5 pi }{2} leq pm dfrac{ pi }{6} +2 pi n leq 4 pi , n in Z \ \ 15 leq pm 1 + 12n leq 24, n in Z \ \ n = 1 \ boxed{x_1 = - dfrac{ pi }{6} + 2 pi = dfrac{11 pi }{6} }$