Question

В стене коридора замка имеется 2013 закрытых дверей. Один за другим 2013 сторожей начинают двигаться из начала коридора, причем первый сторож открывает все двери. Второй сторож изменяет положение каждой второй двери. Третий изменяет положение каждой третьей двери и так далее. Сколько дверей будут открыты после прохождения всех сторожей?
С решением пожалуйста. Заранее спасибо

Answer 1

Пусть двери будут в множестве 
$<1;2;3;4;5;6;7;8.....2013>$
Если расписать все по порядку    (для наглядности)
1 сторож проходит и соответственно открывает все двери , то есть все 2013 двери будут открыты , затем второй закрывает все четные двери $<2;4;6;8;10;12......2012>$
и так далее .....
2) 3 открыта 
3) 3 закрыта  

2) 4 закрыта
3) 4 закрыта 
4) 4 открыта 
 
2) 5 открыта 
3) 5 открыта  
4) 5 открыта  
5) 5 закрыта  
 
2) 6 закрыта  
3) 6 открыта 
4) 6 открыта 
5) 6 открыта 
6) 6 закрыта
 
2) 7 открыта 
3) 7 открыта  
4) 7 открыта  
5) 7 открыта  
6) 7 открыта 
7) 7 закрыта
 
2) 8 закрыта  
3) 8 закрыта  
4) 8 открыта   
5) 8 открыта  
6) 8 открыта  
7) 8 открыта  
8) 8 закрыта 
 
2) 9 открыта 
3) 9 закрыта  
4) 9 закрыта
5) 9 закрыта 
6) 9 закрыта 
7) 9 закрыта  
8) 9 закрыта  
9) 9 открыта 

Можно увидеть закономерность , то есть если число простое в нашем случае 3;5;7  то очевидно они все закрываются. (то есть у их четное количество делителей конкретнее 1 и само число)  . И можно заметить что если число полный квадрат то они открываются
то есть нам надо  посчитать квадраты , очевидно что они будут 
$2^2,3^2,4^2,5^2........sqrt{2013}$, то есть до ближайшего квадрата , и он будет равен $44^2$
Ответ 44 двери открыты будут