Question

Дан треугольник DEK, у которого D(-4;-5), E(3;2), K(8;3)
1. EC - биссектриса; найти координаты точки C
2. определите вид треугольника
срочно плиз, даю много баллов

Answer 1

так как EC - биссектриса, то:
$frac{DC}{ED} = frac{CK}{EK} textless = textgreater frac{CK}{DC}= frac{EK}{ED}$
при делении точкой отрезка на 2 части, относящиеся как m к n, есть формула для вычисления координат этой точки:
$x= frac{x_1+lambda *x_2}{1+lambda} \y= frac{y_1+lambda *y_2}{1+lambda} \lambda= frac{m}{n}$
ищем длины сторон:
для этого используем формулу $|AB|=sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$
$|ED|=sqrt{(3+4)^2+7^2}=sqrt{98} \|EK|=sqrt{(3-8)^2+(2-3)^2}=sqrt{26} \|DK|=sqrt{144+64}=sqrt{208}$
находим координаты точки C:
$x_1=8; x_2=-4; y_1=3; y_2=-5 \lambda= frac{CK}{DC} = frac{EK}{ED} = frac{sqrt{26}}{sqrt{98}}=sqrt{ frac{26}{98} }=sqrt{ frac{13}{49} } = frac{sqrt{13}}{7} \C( frac{8+ frac{sqrt{13}}{7} *(-4)}{1+ frac{sqrt{13}}{7}} ; frac{3+ frac{sqrt{13}}{7}*(-5)}{1+ frac{sqrt{13}}{7}} )=C( frac{8- frac{4sqrt{13}}{7} }{ frac{7+sqrt{13}}{7} } ; frac{3- frac{5sqrt{13}}{7} }{frac{7+sqrt{13}}{7}} )=$
$=C( frac{ frac{56-4sqrt{13}}{7} }{frac{7+sqrt{13}}{7}}; frac{ frac{21-5sqrt{13}}{7} }{frac{7+sqrt{13}}{7}})=C( frac{56-4sqrt{13}}{7+sqrt{13}} ; frac{21-5sqrt{13}}{7+sqrt{13}} )$
теперь определим вид треугольника для этого используем теорему косинусов:
вид треугольника будем определять по косинусу самого большого угла; если cos<0, то угол тупой; если cos=0, то угол прямой; если cos>0, то угол острый.
Против большей стороны лежит больший угол, поэтому запишем теорему косинусов для DK и косинуса угла E:
$DK^2=ED^2+EK^2-2ED*EK*cosE \cosE= frac{ED^2+EK^2-DK^2}{2ED*EK} = frac{98+26-208}{2sqrt{98*26}} textless 0$
cosE<0 поэтому угол тупой и треугольник тупоугольный
Ответ:
1) $C( frac{56-4sqrt{13}}{7+sqrt{13}} ; frac{21-5sqrt{13}}{7+sqrt{13}} )$
2) треугольник тупоугольный