Question

Решите 3 примера пожалуста
1.lim (x стремится к одному) 3x2 - 2x - 1/ x2-4x+3
2.lim ( x стремится к бесконечности) 3x2+5x+4/2x2-x+1
3.lim ( x стремится к бесконечности) в скобках 2x-7/2x-3 в степени 4x+1

Answer 1

1. Числитель и знаменатель разложим на множители
$lim_{x to inft1} frac{3 x^{2} -2x+1}{ x^{2} -4x+3} =lim_{x to inft1} frac{(3x+1)*(x-1)}{(x-3)*(x-1)}=lim_{x to inft1} frac{3x+1}{x-3} = frac{4}{-2}=-2$

2. Числитель и знаменатель разделим на x²
$lim_{x to infty} frac{3 x^{2} +5x+4}{2 x^{2} -x+1} = lim_{x to infty} frac{3+ frac{5}{x}+ frac{4}{ x^{2} } }{2- frac{1}{x} + frac{1}{ x^{2} } } = =lim_{x to infty} frac{3+ frac{5}{oo}+ frac{4}{oo^{2} } }{2- frac{1}{oo} + frac{1}{ oo^{2} } } = frac{3}{2}$

3. Приводим ко второму замечательному пределу
$lim_{x to infty} ( frac{2x-7}{2x-3}) ^{4x+1}= lim_{x to infty} ( frac{2x-3 -4}{2x-3}) ^{4x+1}= lim_{x to infty} (1- frac{4}{2x-3} ) ^{4x+1}$
Пусть $t=- frac{4}{2x-3}$, откуда $x= frac{3}{2} - frac{2}{t}$
При этом t→0
Делаем замену
$lim_{t to inft0}(1+t)^{7- frac{8}{t}} =lim_{t to inft0}(1+t) ^{7} *(1+t) ^{- frac{8}{t}} = =lim_{t to inft0}(1+t) ^{7} *lim_{t to inft0}((1+t)^{frac{1}{t}} ) ^{-8} =1*( lim_{t to inft0}(1+t)^{frac{1}{t}} ) ^{-8} =e ^{-8}$