Question

у прямокутному трикутнику точка дотику вписаного кола ділить гіпотунузу на відрізки, що дорівнюють 5 і 12см. Знайти катети трикутника.

Answer 1

Пусть имеем прямоугольный треугольник АВС с катетами АВ и ВС.
Отрезки катетов от вершин до точек касания равны 5 и 12. Оставшиеся отрезки обозначим за х.
По Пифагору (5+х)² + (12+х)² = (5+12)².
25+10х+х²+144+24х+х² = 289.
Получили квадратное уравнение 2х²+34х-120 = 0 или
х²+17х-60 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=17^2-4*1*(-60)=289-4*(-60)=289-(-4*60)=289-(-240)=289+240=529;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:
x₁=(√529-17)/(2*1)=(23-17)/2=6/2=3;x₂=(-√529-17)/(2*1)=(-23-17)/2=-40/2=-20 (отрицательное значение отбрасываем).
Ответ: АВ = 5+3 = 8.
           ВС = 12+3 = 15.
Проверка: 8² + 15² = 64+225 = 289 = 17².