Question

Помогите пожалуйста!! Метод математической индукции
1) 1*3+2*3+...+n(2n+1)=n(4n^2+9n+5)6
2) 12*4+14*6+...+12n(2n+2)=n4n+4

Answer 1

 
1 выражение: С учетом комментариев к задаче:

$dispaystyle 1*3+2*5+...+n(2n+1)= frac{n(4n^2+9n+5)}{6}$

1) докажем для n=1

$dispaystyle 1*3= frac{1(4+9+5)}{6}\3= frac{18}{6}\3=3$

2) допустим что равенство справедливо для n=k
докажем что оно справедливо для n=k+1

$dispaystyle 1*3+2*5+...+k(2k+1)+(k+1)(2k+3)=$

сумма первых слагаемых до n=k по предположению равна дроби. Заменим

$dispaystyle frac{k(4k^2+9k+5)}{6}+(k+1)*(2k+3)=\ frac{k(4k^2+9k+5)+6(2k^2+5k+3)}{6}=\= frac{4k^3+9k^2+5k+12k^2+30k+18}{6}=\= frac{4k^3+21k^2+35k+18}{6}=\ frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$

теперь преобразуем правую часть равенства

$dispaystyle frac{(k+1)(4(k+1)^2+9(k+1)+5)}{6}= frac{(k+1)(4k^2+17k+18)}{6}$

Мы видим что равенство справедливо. 

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.

2 Выражение:

$dispaystyle frac{1}{2*4}+ frac{1}{4*6}+...+ frac{1}{2n(2n+2)}= frac{n}{4n+4}$

1) докажем для n=1

$dispaystyle frac{1}{2*4}= frac{1}{4+4}\ frac{1}{8}= frac{1}{8}$

2) предположим что равенство справедливо для n=k
докажем что справедливо для n=k+1

$dispaystyle frac{1}{2*4}+ frac{1}{4*6}+...+ frac{1}{2k(2k+2)}+ frac{1}{2(k+1)(2k+4)} =\= frac{k}{4k+4}+ frac{1}{4(k+1)(k+2)}= frac{k(k+2)+1}{4(k+1)(k+2)}=\= frac{k^2+2k+1}{4(k+1)(k+2)}= frac{(k+1)^2}{4(k+1)(k+2)}= frac{k+1}{4(k+2)}$

рассмотрим правую часть

$dispaystyle frac{k+1}{4(k+1)+4}= frac{k+1}{4k+8}= frac{k+1}{4(k+2)}$

Мы видим что равенство справедливо. 

Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.