3. Величины углов АВС и КВС относятся как 7 : 3, а их разность равна 72°. Могут ли эти углы быть смежными?
4. Найдите радиус окружности, вписанной в параллелограмм, если его диагонали равны 12 см и 3√2 см.
Ответы
3. Пусть х и у - искомые углы. Тогда из условия:
х - у = 72
7у = 3х Решив эту систему, получим у = 54, х = 126. Как видим х+у = 180. Значит углы могут быть смежными.
4. Если в параллелограмм можно вписать окружность, значит его диагонали - биссектрисы, т.е. АВСД - ромб. АС перпенд ВД (по св-ву диагоналей ромба). Пусть О - точка пересеч. диагон. и центр вписан. окр. В прям. тр-ке АОД проведем высоту ОК. Это и есть искомый радиус впис. окр.
По т. Пифагора найдем АД = кор(АОквад + ОДквад) = 9кор2/2. теперь можем найти ОК по известной формуле для высоты опущенной на гипотенузу:
ОК = АО*ОД/АД = (6*3кор2/2)/(9кор2/2) = 2 см.
Ответ: 2