Question

Какое наибольшее количество различных натуральных чисел можно сложить так, чтобы при сложении не было ни одного переноса, а сумма была равна 2036?

Answer 1

Решение не строгое! Доказательств нет.  
Чтобы не было переноса в разряд тысяч, возможны 2 варианта:
1) есть одно слагаемое 2000 (возможно слагаемое 2001 и больше, но чем больше слагаемое, тем меньше остается из суммы 2036 на другие слагаемые, и вероятно, тем меньше будет этих слагаемых)
2) есть два слагаемых 1000 и 1001 (с той же оговоркой)

Если выбрать 1) вариант, то от суммы 2036 остается 2036-2000 = 36
Теперь первоначальная задача относится к числу 36, а не 2036.
Не нужно в погоне за максимальным числом слагаемых пытаться получить число 36, складывая единицы. 1+2+3+4 - уже получается перенос в разряд десятков. Значит, единицы нужно комбинировать с двузначными числами второго, третьего и четвертого десятков (1_, 2_, 3_ ). Двузначные числа лучше брать самые маленькие в своем десятке (_0, _1, _2, _3), чтобы избежать переноса и дать возможность добрать сумму единицами.
Рассмотрим самые перспективные варианты:

а) 11+12+13 = 36 (3 слагаемых) - плохой вариант, для единиц ничего не осталось, 36 получено тремя двузначными слагаемыми. 
итого 2000 + 11+12+13 = 2036 (4 слагаемых)

б) 10+11+12+1+2 = 36 (5 слагаемых) - здесь использованы минимально возможные двузначные числа и минимально возможные единицы
итого 2000 + 10+11+12+1+2=2036 (6 слагаемых)

в) 20+10+1+2+3 = 36 (5 слагаемых)
итого 2000 + 20+10+1+2+3 = 2036 (6 слагаемых)

г) 30+1+2+3 = 36 (4 слагаемых)
итого 2000 + 30+1+2+3 = 2036 (5 слагаемых)

Вариант 2) не дает выигрыша, поскольку 1000 + 1001 = 2001, и при сложении придется убирать слагаемое 1. В варианте а) нет слагаемого 1, убирать его не надо, но слагаемое 11 нужно заменить на 10. Так что для этого варианта число слагаемых увеличится на 1, но все равно это будет не лучший вариант:.
1000+1001+10+12+13 = 2036 (5 слагаемых)

Наилучшие варианты б) и в) дают 6 слагаемых:
2000 + 10+11+12+1+2=2036
2000 + 20+10+1+2+3 = 2036