Question

Я решал пример: $\lim_{n \to \00}$$\frac{1-cos2x}{x ^{2} }$ .
Я заменил cos2x на $cos ^{2} x - sin ^{2} x$
Далее есть два варианта действий:
1. Заменить cos$^{2} x$ на 1, так как он стремится к 1. Тогда ответ получится 1.
2. Заменит 1 на $cos ^{2} x + sin ^{2} x$ , тогда ответ получится 2.
Почему получаются разные ответы?

Answer 1

Вот в числителе можно по формуле понижения степени, т.е. $2\sin^2x=1-\cos 2x$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos2x}{x^2}=\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2x}{x^2} =2.$

Если же вы хотите применить косинус двойного угла, то примем лучше $\cos 2 \alpha =1-2\sin^2 \alpha$

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos 2x}{x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{1-(1-2\sin^2x)}{x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2x}{x^2}=2$