Question

Постройте график функции у=х^-2х-8. Найдите с помощью графика:
а) значение у при Х=3
б)значение Х при которых у=3
в)нули функции промежутки в которых у>0 и в которых у<0
г) промежуток в котором функция возрастает



Не выполняя построения определите пересекаются ли парабола у=1/3 х^ и прямая у=6х-15. Если точки пересечение существуют то найдите их координаты.

Answer 1

у = x² - 2x - 8

y = (x² - 2x + 1) - 1 - 8

y = (x - 1)² - 9

График функции - квадратичная парабола, ветви направлены вверх.

Координаты вершины из уравнения y = (x - 1)² - 9

x₀ = 1;   y₀ = -9.

Нули функции

x² - 2x - 8 = 0    ⇔    (x - 4)(x + 2) = 0

1) x - 4 = 0;   x₁ = 4;

2) x + 2 = 0;   x₂ = -2

Точка пересечения с осью OY для построения графика

x = 0;   y = x² - 2x - 8 = 0² - 2*0 - 8 = -8

График в приложении.

а) x = 3;    y = 3² - 2*3 - 8 = 9 - 6 - 8 = -5

    A (3; -5)

б) y = 3;

     x² - 2x - 8 = 3    ⇔    x² - 2x - 11 = 0

     D/4 = (b/2)² - ac = 1 + 11 = 12

     $x_1=dfrac{-frac{b}{2}+sqrt{frac{D}{4}}}{a} =dfrac{1+sqrt{12}}{1} =1+2sqrt{3}$    ≈ 4,5

     $x_2=dfrac{-frac{b}{2}-sqrt{frac{D}{4}}}{a} =dfrac{1-sqrt{12}}{1} =1-2sqrt{3}$     ≈ -2,5

     B (-2,5; 3); C(4,5; 3)

в) Нули функции    x₁ = 4;    x₂ = -2

    Точки   D (-2; 0);   F(4; 0)

    Промежутки знакопостоянства функции

    y > 0  при   x ∈ (-∞; -2) ∪ (4; +∞)

    y < 0  при   x ∈ (-2; 4)

г) Функция возрастает при x ∈ [1; +∞)

============================

Графики у = 1/3 x²;   у = 6x - 15

Для поиска точки пересечения нужно уравнять формулы по y

1/3 x² = 6x - 15     | * 3

x² = 18x - 45    ⇔     x² - 18x + 45 = 0

$dfrac{D}{4} =(dfrac{b}{2})^2 -ac=81-45=36=6^2$

Дискриминант положительный, значит, графики имеют 2 точки пересечения.

$x_1=dfrac{-frac{b}{2}+sqrt{frac{D}{4}}}{a} =dfrac{9+6}{1} =15;\ \ x_2=dfrac{-frac{b}{2}-sqrt{frac{D}{4}}}{a} =dfrac{9-6}{1} =3$

1) x₁ = 15;     y₁ = 6*15 - 15 = 5*15 = 75

2) x₂ = 3;      y₂ = 6*3 - 15 = 18 - 15 = 3

Ответ: точки пересечения графиков (15; 75); (3; 3)