Question

5x^4-12x^3+11x^2-12x+5=0 решите уравнение

Answer 1

Это возвратное уравнение. Делим на x²
5x² - 12x + 11 - 12/x + 5/x² = 0
5x² + 5/x² - 12x - 12/x + 11 = 0
5x² + 10 + 5/x² - 12x - 12/x - 10 + 11 = 0
5(x² + 2 + 1/x²) - 12(x + 1/x) + 1 = 0
5(x + 1/x)² - 12(x + 1/x) + 1 = 0
Пусть t = x + 1/x
5t² - 12t + 1 = 0
D = 144 - 5·4 = 144 - 20 = 124 = (2√31)²
t₂ = (12 + 2√31)/10 = (6 + √31)/5
t₂ = (12 - 2√31)/10 = (6 - √31)/5
Обратная замена:
1) x + 1/x = (6 + √31)/5
5x² + 5 = x(6 + √31) 
5x² - x(6 + √31) + 5 = 0
$D = (6 + sqrt{31} )^2 - 5 cdot 5 cdot 4 = 36 + 12 sqrt{31} + 31 - 100 = 12 sqrt{31} - 33 \ \ x_1 = dfrac{6 + sqrt{31} + sqrt{12 sqrt{31} - 33 } }{10} \ \ x_2 = dfrac{6 + sqrt{31} - sqrt{12 sqrt{31} - 33 } }{10}$
2) x + 1/x = (6 - √31)/5
5x² + 5 = x(6 - √31)
5x² - x(6 - √31) + 5 = 0
$D = (6 - sqrt{31} )^2 - 5 cdot 5 cdot 4 = 36 - 12 sqrt{31} + 31 - 100 textless 0$
Ответ: $x = dfrac{6 + sqrt{31} pm sqrt{12 sqrt{31} - 33 } }{10} .$