Question

Решите пределы!!! По 1 и 2 способу замечательных пределов

Answer 1

1. Выделяем целую часть, чтобы решить через 2 замечательный предел. 
$lim_{x to infty} (frac{3x-4}{3x+2})^{2x} = lim_{x to infty} (frac{3x+2 - 6}{3x+2})^{2x} = lim_{x to infty} ( 1 +frac{-6}{3x+2})^{2x}$ = $lim_{x to infty} [(1+ frac{-6}{3x+2})^{ frac{3x+2}{-6} }]^{2x* frac{-6}{3x+2} }$ = $lim_{x to infty} e^{ 2x* frac{-6}{3x+2} } } = e^{lim_{x to infty} 2x* frac{-6}{3x+2} } = e^{ lim_{x to infty} frac{-12x}{3x+2} } = lim_{x to infty} frac{-12}{3+ frac{2}{x} }$ = $e^{-4} = frac{1}{e^4}$
2.
Для начала давай упростим числитель с помозью формул приведения:
$cos(2x) - cos(4x) = 1 - 2xin^2(x) - (1 - 2sin^2(2x)) =$ = $2sin^2(2x) - 2sin^2(x) = 2(sin^2(2x) - sin^2(x)) =$ = $2(4sin^2(x)cos^2(x) - sin^2(x))$ 
Этого достаточно, теперь запишем предел. 
$lim_{x to 0} frac{2(4sin^2(x)cos^2(x) - sin^2(x))}{3x^2}$
Выносим 2/3 за предел:
$frac{2}{3} lim_{x to 0}frac{(4sin^2(x)cos^2(x) - sin^2(x))}{x^2}$
Теперь поделим всё на x². Так как предел произведения равен произведению пределов, то получим:
$frac{2}{3} ( lim_{x to 0} frac{4sin^2x}{x^2}* lim_{x to 0} cos^2(x) - lim_{x to 0} frac{sin^2(x)}{x^2})$
cos(0) = 1
$frac{2}{3} ( 4*lim_{x to 0} (frac{sin(x)}{x})^{2}* 1 - lim_{x to 0} (frac{sin(x)}{x})^2)$ = $frac{2}{3} ( 4*(lim_{x to 0} frac{sin(x)}{x})^{2}* 1 - (lim_{x to 0} frac{sin(x)}{x})^2)$ = $frac{2}{3}( 4 - 1) = 2$

Answer 2

Можно на листке всё написать?