Question

Найти производную функции: решать нам сказали по таблице производных. Умные люди помогите заочнику). И поподробнее пожалуйста. значком / обозначил дробь, не знаю как по другому.

a) y = sin^7 2x*cos x^7
б) y = arctg*(1-x^2/2x)

Answer 1

10а) $y=sin^{7} 2x*cos x^{7}$
Используем формулу дифференцирования произведения, а также правила дифференцирования сложных функций.
$y'=(sin^{7} 2x)'*cos x^{7}+sin^{7} 2x*(cos x^{7})'=$
$=7sin^{6}2x*cos2x*2*cos x^{7}+sin^{7} 2x*(-sinx^{7})*7x^{6}=$
$=14*sin^{6}2x*cos2x*cos x^{7}-7*sin^{7} 2x*sinx^{7}*x^{6}$

10б) $y = arctg( frac{1-x^2}{2x})$
Табличная производная от арктангенса, плюс производная сложной функции.
$y' = frac{1}{1+(frac{1-x^2}{2x})^2}* (frac{1-x^2}{2x})'= frac{1}{1+(frac{1-x^2}{2x})^2}* (frac{1}{2x}- frac{x}{2})'=$
$= frac{1}{2}* frac{1}{1+(frac{1-x^2}{2x})^2}* (x^{-1} - x)'=frac{1}{2}* frac{1}{1+(frac{1-x^2}{2x})^2}* (-x^{-2} - 1)=$
$=-frac{1}{2}* frac{1}{1+(frac{1-x^2}{2x})^2}* (x^{-2} + 1)=-frac{1}{2}* frac{1}{frac{4x^2+(1-x^2)^2}{4x^2}}* (x^{-2} + 1)=$
$=-frac{1}{2}* frac{(x^{-2} + 1)*4x^2}{4x^2+(1-x^2)^2}=-frac{1}{2}* frac{4 + 4 x^{2}}{4x^2+(1-x^2)^2}= -frac{2 + 2 x^{2}}{4x^2+1-2 x^{2} + x^{4} }=$
$= -frac{2 + 2 x^{2}}{2x^2+1 + x^{4}}$
$=- frac{2}{ x^{2} +1}$

Answer 2

Для 10б) какой-то странный ответ получается. Если взять интеграл, то не получается исходное выражение. Однако не могу понять в чём дело. Ошибка?

Answer 3

Мы на паре решали примерно такой же вариант, там тоже трехэтажные дроби были, она сказала можно до конца не сокращать и так правильный ответ будет. Я в среду зайду к ней, проверим и если что я отпишу, правильно нет. Тебе респект огромный, спасибо прям. Буду разбираться сейчас как, что и к чему ты решал. Спасибо)

Answer 4

При интегрировании полученного выражения получается не просто (-2arctg(x)), а (-2arctg(x)+C). Ещё некая константа!!! Если C=pi/2, то всё становится нормальным, ибо arctg(1-x^2/2x) = pi/2 - 2arctg(x). Так что ошибки нет.