Question

Постройте график функции y=2x^2+8x+2;
Найдите:
а) значение y при x=-2,3 -0,5 1,2;
б) значения x,при которых y=-4, y=-1, y=1,7;
в)нули функции и промежитки, где y>0, y <0;
г)область значений.
Все подробно пожалуйста.

Answer 1

Упростим функцию к виду $y=a(x+b)^2+c$, где (-b;c) - координаты вершины параболы.

$y=2x^2+8x+2=2(x^2+4x+1)=2(x^2+4x+4-3)=2(x+2)^2-6$

Имеем (-2;-6) - координаты вершины параболы, ветви направлены вверх.

a) Подставим значение аргумента x в график уравнения, получим

$x=-2.3;~~~ y=2(-2.3+2)^2-6=-5.82\ x=-0.5;~~~ y=2(-0.5+2)^2-6=-1.5\ x=1.2;~~~~~y=2(1.2+2)^2-6=14.48$

б)  Аналогично подставляем значения функций в график уравнения, получим значение аргумента х

$y=-4;~~ -4=2(x+2)^2-6~~Rightarrow~~ (x+2)^2=1~~Rightarrow~~ x+2=pm 1\ \~~~~~~~~~~~~~~~~x_1=-1;~~~~ x_2=-3$

$y=-1;~~~Rightarrow~~ -1=2(x+2)^2-6~~~Rightarrow~~~ (x+2)^2=2.5\ \~~~~~~~~x+2=pmsqrt{2.5}~~~~~Rightarrow~~~~ x_{1,2}=-2pmsqrt{2.5}$

$y=1.7;~~ 1.7=2(x+2)^2-6~~~Rightarrow~~~3.85=(x+2)^2~~~Rightarrow~~ x+2=pmsqrt{3.85}\ \ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x_{1,2}=-2pmsqrt{3.85}$

в) Нули функции : решим уравнение при y = 0

$2(x+2)^2-6=0\ (x+2)^2=3\ x+2=pmsqrt{3}\ x=-2pmsqrt{3}$

Функция убывает на промежутке x ∈ (-∞; -2), а возрастает - x ∈ (-2; +∞). Функция положительная при $x in (-infty;-2-sqrt{3})cup (-2+sqrt{3};+infty)$, а отрицательная при $x in (-2-sqrt{3};-2+sqrt{3})$

г) Область значений функции: $E(y)=[-6;+infty).$