Question

80 баллов! Упростите тригонометрическое выражение $frac{ sqrt{1+sin alpha }+ sqrt{1-sin alpha } }{ sqrt{1+sin alpha }- sqrt{1-sin alpha } } , pi textless alpha textless frac{3 pi }{2}$

Буду благодарна, даже если просто опишете метод решения в комментариях.

Очень прошу не писать в ответы непонятный бред с целью получить баллы. Очень нужна помощь.

Answer 1

Преобразуем первое подкоренное выражение:
1 + Sina = Sin²a/2 + 2Sina/2Cosa/2 + Cos²a/2 = (Sina/2 + Cosa/2)²
Второе подкоренное выражение будет иметь вид:
1 - Sina = Sin²a/2 - 2Sina/2Cosa/2 + Cos²a/2 = (Sina/2 - cosa/2)²
То есть мы перешли к половинному углу используя формулы:
1)1 = Sin²a/2 + Cos²a/2  и 2) Sina = 2Sina/2Cosa/2
Теперь получаем:
[√(Sina/2 + Cosa/2)² + √(Sina/2 - Cosa/2)²]/ [√(Sina/2 + Cosa/2)² - √(Sina/2 -
- Cosa/2)² = (Sina/2 + cosa/2 + Sina/2 - cosa/2) / (Sina/2 + Cosa/2 -
- Sina/2 + Cosa/2 ) = (2Sina/2) / (2Cosa/2) = tga/2

Answer 2

А имеет ли тогда значение промежуток, данный для альфа?

Answer 3

Не там написала ответ, пора идти спать)))

Answer 4

Я увидела. Спасибо большое за разъяснения!

Answer 5

$frac{ sqrt{1 + sin alpha } + sqrt{1 - sin alpha } }{sqrt{1 + sin alpha } - sqrt{1 - sin alpha }}$ =
= {домножаем на $sqrt{1 + sin alpha } + sqrt{1 - sin alpha }$ } =
= $frac{ (1 + sin alpha) + (1 - sin alpha) + 2sqrt{1 + sin alpha }sqrt{1 - sin alpha } }{(1 + sin alpha) - (1 - sin alpha)}$ =
= $frac{ 2 + 2sqrt{1 - sin^2alpha} }{ 2sin alpha} = frac{ 1 + | cosalpha | }{ sin alpha } = frac{ 1 - cosalpha }{ sin alpha}$

Answer 6

Перед косинусом минус, т.к. он отрицательный (П .. 3П/2). Хотя я не уверен :/

Answer 7

Да вроде плюс должен быть. Вот только меня смущает то, что в двух ответах обратные выражения в конце получаются...

Answer 8

(1 - Cosa)/Sina = tg a/2