Question

Детально объясните эквивалентные переходы в уже готовом решении. Особенно интересуют последние 4 строчки решения, максимально подробно распишите. Задание (доказать методом математической индукции) и решение на картинках ниже:

Answer 1

1. Сначала по методу математической индукции мы проверяем это выражение для n = 1 - базисное значение, а потом предполагаем, что равенство равно и для некоторых k элементов. 
2. Записываем его для k элементов. 
3. Теперь записываем его для шага индукции, то есть для k+1 элементов. 
$C^{1}_k + 2C^{2}_k + 3C^3_k + kC^k_k + C^{k+1}_{k+1} = (k+1)2^{k+1-1}$
$C^k_n -$это коэффициент, использующийся в биноме Ньютона.  
1 Формула: $C^{n+1}_{k+1} = C^{n+1}_{k}+C^n_k$ тоже взята из свойств бинома Ньютона, а точнее его связи с треугольником Паскаля. 
2. Формула: $Sigma C^k_n = 2^n$ - это тоже свойство биноминальных коэффициентов, суммирование по k. 
Так как равеноство $C^{1}_k + 2C^{2}_k + 3C^3_k + kC^k_k = k2^{k-1}$ выполняется гарантировано, то теперь запишем для k+1 по-новому: 
$k2^{k-1} + (k+1)C^{k+1}_{k+1} = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + C^{k+1}_{k} + C^k_k = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + 2^k + C^{k+1}_k = (k+1)2^k$
$C^{k+1}_k = C^k_k$ - по правилу симметрии, которое тут опустили как раз. 
Получается:
$k2^{k-1} + C^k_k(k+1) = (k+1)2^k$
$kC^k_k + C^k_k + k2^{k-1} = (k+1)2^k$
$k2^{k-1} + k2^{k-1} + 2^k = (k+1)2^k$
$2k2^{k-1} + 2k = (k+1)2^k$
$k2^k + 2^k = (k+1)2^k$
Что и требовалось доказать. Биноминальные коэффициенты и их свойства. 

Answer 2

Ок, время есть.

Answer 3

Как там, появились идеи?

Answer 4

Да, я упустил k+1, можешь дописать. В доказательстве твоём видно на 3 строчке какие коэффициенты мы складываем kC^(k) + (1+k)C^(k). Тут показали лучше, что C^(k+1) [индексы тут я не напишу] будет равно (k+1)C^k, тут это не доказывали через факториалы а просто показали наглядно, а дальше обычная математика. Вот и всё, в 5 часов ночи я пытался тоже что-то такое показать, но упоролся)

Answer 5

В том то и дело, что я не понимаю этой обычной математики в том решении, а в этом задании просил просто расписать переходы последних 4-х строчек более подробно.

Answer 6

там написано 28+7=2х; x=17.5, а мне нужно 28+7=2x; 35=2x; 2x=35; x=17.5.