Question

Сколько решений имеет система уравнений

                x^2+y^2+xy=a

                x^2-y^2=кор.куб. из (a)

           где,  а – произвольное вещественное число.

Answer 1

Долго думал)

Итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.

Следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.

Требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.

Воспользуемся стандартным алгоритмом приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.

a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a

a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.

Угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)

В знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.

Крутим СК на 45 градусов.

Из аналитической геометрии известно, что выражения старых координат через новые:

x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)

y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)

 

Подставим в первое уравнение основной системы. Получим

x'^2+y'^2 = 2a/3         это ОКРУЖНОСТЬ!!!!

Во втором уравнении

y' = (-a^(1/3))/(2*x')   это ГИПЕРБОЛА.

 

Теперь рассматриваем различные случаи значений а.

а=0 => одно решение (0;0)

Подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.

x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0

исследуем его дискриминант.

(1/9)*a^4-a^(2/3) >= 0 , откуда a^(10/3) >=9 => a>= 9^(3/10)

ответ: a=0 один корень

   а = 9^(3/10) два корня

  a > 9^ (3/10) четыре корня!