Сколько решений имеет система уравнений
x^2+y^2+xy=a
x^2-y^2=кор.куб. из (a)
где, а – произвольное вещественное число.
Ответы
Долго думал)
Итак, первое уравнение определяет эллипс, а второе- гиперболу.
Следовательно, решений может быть либо 0, либо 2, либо 4.
Требуется преобразовать систему координат таким образом, чтобы уравнения приобрели более простой вид.
Воспользуемся стандартным алгоритмом приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.
a11*x^2+2*a12*x*y*+a22*y^2=a
a11, a12, a22 - известные коэффициенты, в нашем случае a11=a22=1, a12=0.5.
Угол, на который нужно повернуть систему координат, чтобы убить член xy: tg(2*alpha)=2*a12/(a11-a22)
В знаменателе 0 => tg = бесконечность => 2*alpha=90, alpha = 45.
Крутим СК на 45 градусов.
Из аналитической геометрии известно, что выражения старых координат через новые:
x=x'*cos(alpha)-y'*sin(alpha)
y=x'*sin(alpha)+y'cos(alpha)
Подставим в первое уравнение основной системы. Получим
x'^2+y'^2 = 2a/3 это ОКРУЖНОСТЬ!!!!
Во втором уравнении
y' = (-a^(1/3))/(2*x') это ГИПЕРБОЛА.
Теперь рассматриваем различные случаи значений а.
а=0 => одно решение (0;0)
Подставив y' из ур-я гиперболы в ур-е окружности, получим биквадратное уравнение относительно x'.
x'^4 - (2a/3)*x'^2+4*a^(2/3) = 0
исследуем его дискриминант.
(1/9)*a^4-a^(2/3) >= 0 , откуда a^(10/3) >=9 => a>= 9^(3/10)
ответ: a=0 один корень
а = 9^(3/10) два корня
a > 9^ (3/10) четыре корня!