Question

Доказать, что

$displaystyle lim_{n to infty} frac{n!}{sqrt{2pi n}left(frac{n}{e}right)^n}=1$

Answer 1

Рассмотрим следующую гамму-функцию: Г(n+1)=$intlimits^infty_0$xⁿ·e⁻ˣ dx. 
Положим x=n(1+u), то есть, получаем Г(n+1) = nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $intlimits^{+infty}_{-1}$ ((1+u)*e^(-u))ⁿ du

Пусть u=f(a): Г(n+1)=nⁿ⁺¹ e⁻ⁿ $intlimits^{+infty}_{-infty}$ e⁻ⁿᵃ * f'(a)da

Пусть n^(-0.5a)=b, имеем Г(n+1) = n^(n+0.5) * e⁻ⁿ $intlimits^{+infty}_{-infty}$ $e^{-b^2}$ f'(b/√n) db
или это можно переписать в виде $frac{Gamma(n+1)}{n^{-n}e^{-n} sqrt{n} } = intlimits^{+infty}_{-infty} e^{-b^2}f'( frac{b}{ sqrt{n} } )db$
При n стремящихся к бесконечности b/√n -> 0, то есть $intlimits^{+infty}_{-infty} e^{-b^2}f'( frac{b}{ sqrt{n} } )db= sqrt{2} intlimits^{+infty}_{-infty} e^{-b^2}db=sqrt{2} pi$

Откуда вытекает формула Стирлинга n!=Г(n+1)=nⁿ e⁻ⁿ √(2πn), то есть
 $lim_{n to infty} frac{Gamma(n+1)}{n^ne^{-n} sqrt{n} } =1$

Answer 2

f(a) - некоторая функция, т.е. введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям: u=-1 при a=-бесконечность и u=+inf при a=+inf.

Answer 3

Ну это замена

Answer 4

но Вы же не написали какая замена

Answer 5

Также стоит заметить что a^2 = u - ln(u+1) = ln(e^u/(u+1)) и e^(-a^2) = (1+u)*e^(-u)

Answer 6

Третья строка: Пусть u=f(a)